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Universität/Hochschule Punktweiser Grenzwert
mappingmoe Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 01.09.2020, Mitteilungen: 7
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Themenstart: 2020-09-03

Hallo liebe Forenmitglieder,

ich bin über eine Aufgabe zum punktweisen Grenzwert einer Reihe gestoßen, bei welcher mir es schwer fällt, ein \(N(x,\epsilon)\) zu finden, s.d meine Reihe konvergiert. Die Aufgabe im Detail lautet hierbei:

Bestimmen sie den punktweisen Grenzwert \(s(x)\) der Reihe \(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^k}\) für jedes \(x\in\mathbb{R}\). Bestimmen sie dann ein \(N=N(x,\epsilon)\), sodass für alle \(x\in\mathbb{R}\) \(|s(x)-\sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k}|<\epsilon\) \(n\ge N(x,\epsilon)\) gilt. Konvergiert die Reihe auf \([-1,1]\) gleichmäßig?

Zum ersten Teil der Aufgabe:
Man kann das \(x^2\) aus der Reihe herausziehen und erhält \(x^2\cdot\sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{1+x^2})^k\). Da \(\frac{1}{1+x^2}<1 \forall x\in\mathbb{R}\) liegt eine geometrische Reihe vor, deren Grenzwert \(s(x)=1+x\).
Nun geht es allerdings ans finden des \(N(x,\epsilon)\). Hierbei habe ich versucht, die Betragsdifferenz nach unten hin abzuschätzen und nach \(n\) umzustellen.

Also habe ich mit der Abschätzung \(|s(x)-\sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k}|>|1+\epsilon|-|-\sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k}\) begonnen. Da beide Beträge der Differenz \(\forall x\in\mathbb{R} >0\) sind, habe ich die Beträge weggelassen und bin bei \(1+x-\sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k}<\epsilon\) gestartet. Nach erneutem Rausziehen von \(x^2\) aus der Summe, habe ich die Summe ausgeschrieben und die Summanden auf gleichen Nenner gebracht. Anschließend habe ich die Summe erneut abgeschätzt, da nun alle erweiterten Zähler der Form \((1+x^2)^{n-i}>1\) mit \(i\in[1,n]\). Also erhält man \(1+x-x^2\cdot(\frac{1}{(1+x^2)^n}+\frac{1}{(1+x^2)^n}+...)=1+x-x^2\cdot(\frac{n}{(1+x^2)^n})<\epsilon\). Allerdings komme ich an dieser Stelle nicht weiter, weshalb ich befürchte, dass ich mich verrannt habe und der Ansatz falsch ist. Hat evtl. jemand Verbesserungen bzw Lösungsansätze?
Ich würde mich über jede Antwort freuen,

Gruß Moe!



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Squire Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.08.2015, Mitteilungen: 670
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-03

Servus Moe!

Überprüfe doch zwei Aussagen von dir:

Da \(\frac{1}{1+x^2}<1 \forall x\in\mathbb{R}\)

und

Grenzwert \(s(x)=1+x\)

Grüße Squire



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mappingmoe Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 01.09.2020, Mitteilungen: 7
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-03

2020-09-03 13:00 - Squire in Beitrag No. 1 schreibt:
Servus Moe!

Überprüfe doch zwei Aussagen von dir:

Da \(\frac{1}{1+x^2}<1 \forall x\in\mathbb{R}\)

und

Grenzwert \(s(x)=1+x\)

Grüße Squire

Hey Squire,

offensichtlich ist \(\frac{1}{1+x^2}=1\) für \(x=0\), weshalb die Reihe dann divergiert. Somit wäre bereits der Grenzwert falsch. Dann müsste ich noch einmal Versuchen den Grenzwert neu zu rechnen :/

Danke für deinen Tipp!



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Kitaktus Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.09.2008, Mitteilungen: 6616, aus: Niedersachsen
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-04

Für $x=0$ divergiert die Reihe _nicht_, da ja alle Summanden gleich 0 sind. Durch das Herausziehen von $x^2$ erscheint es Dir nur so.

Versuche erstmal sauber den Grenzwert zu bestimmen. Geometrische Reihe passt. Vergleiche Deinen berechneten Grenzwert mit den numerischen Ergebnissen für $x=0$, $x=1$ und $x=3$.

Für den zweiten Teil kannst Du mit der geometrischen Reihe exakt berechnen welchen Wert die Reihe hat, wenn Du bei $n$ abbrichst. Bilde dann die Differenz zum Grenzwert und dann erst den Betrag.
Bei deinem Ansatz hast Du Dich etwas mit den Beträgen und Vorzeichen verheddert.

Kleiner Tipp: Bei dieser Aufgabe geht es darum, das Konzept der _gleichmäßigen_ Konvergenz kennenzulernen. Anhand der Eigenschaften der Grenzfunktion, kann man schon erahnen, was da passiert ...



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mappingmoe Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 01.09.2020, Mitteilungen: 7
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-04

Ich hab die ganze Sache nochmal schnell überarbeitet:
Beim Grenzwert habe ich mich dummerweise verschrieben, der müsste eigentlich \(1+x^2\) sein. Für die Partialsummen der geometrischen Reihe habe ich eine Herleitung im Internet gefunden, die eigentlich auch ziemlich simpel ist, leider bin ich da nicht selbst drauf gekommen. Für \(\sum_{k=0}^{n} a_0 q^k\) ergibt sich somit \(s_n=a_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\), wofür sich in unserem Fall nach Umstellen \((1+x^2)-\frac{1}{(1+x^2)^n}\) ergeben müsste. Dann ergibt sich für die Betragsdifferenz \(|\frac{1}{(1+x^2)^n}|=\frac{1}{(1+x^2)^n}<\epsilon\). Das Ganze lässt sich jetzt nach n Umstellen, wodurch sich \(N(x,\epsilon)<\frac{log(\frac{1}{\epsilon})}{log(1+x^2)}\) ergibt.
Jetzt allerdings zu dem Teil der gleichmäßigen Konvergenz:
@Kitaktus du hast gesagt, es geht hierbei darum, den Begriff der glm. Konvergenz kennenzulernen. Glm. Konvergenz ist mir ein Begriff, ist ja zu dem hier auf dem Intervall \([-1,1]\) gefragt. Allerdings hat ist unser \(N(x,\epsilon)\) ja verschieden für verschiedene Werte  aus \([-1,1]\). Somit wäre die Reihe nicht glm. konvergent (?)



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kitaktus Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.09.2008, Mitteilungen: 6616, aus: Niedersachsen
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-05

Das geht schon stark in die richtige Richtung. Es reicht aber nicht, dass $N(x,\varepsilon)$ für verschiedene $x$ verschieden ist. Die Frage ist, ob bei festem $\varepsilon$ der Wert $N(x,\varepsilon)$ nach oben beschränkt ist.



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Ehemaliges_Mitglied Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-05

Hallo,

Ich würde so argumentieren: Für alle $x$ ungleich $0$ gibt es ein $q$ mit $q<1$ für das gilt: $\frac{1}{(1+x^2)}<q<1$.

Gruß von BigR2020



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Kitaktus Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.09.2008, Mitteilungen: 6616, aus: Niedersachsen
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-05

Wir bräuchten es für gleichmäßige Konvergenz aber andersrum: "Ein $q$, so dass für alle $x$ (ggf. $\neq 0$) gilt: ...

Das ist genau der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz.



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Ehemaliges_Mitglied Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.8, eingetragen 2020-09-05

Angenommen die geometrische Reihe ist gleichmäßig konvergent, dann existiert ein $q<1$ für alle $x$. Nun wählt man ein $x_{0}$ mit $\frac{1}{1+x_{0}^2}>q$. Das zeigt den Widerspruch.



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