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Lineare Algebra » Vektorräume » Dimensions-Ungleichung für Vektorräume in langer exakter Sequenz
Autor
Universität/Hochschule J Dimensions-Ungleichung für Vektorräume in langer exakter Sequenz
karamur
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.09.2020
Mitteilungen: 4
  Themenstart: 2020-09-04

Hallo! Ich habe eine lange exakte Sequenz \[\cdots \rightarrow A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow A_3 \rightarrow \cdots \] von (endlich-dimensionalen) Vektorräume gegeben und frage mich, warum \[ \dim A_2 \leq \dim A_1 + \dim A_3. \] Ich habe versucht, die Sequenz in kurze exakte Sequenzen zu splitten um mit der Dimensionsformel für Vektorräume auf eine Antwort zu kommen, aber damit habe ich nur für \( f_2:A_1\rightarrow A_2, f_3:A_2\rightarrow A_3\) \(\dim A_2 \leq \dim(\operatorname{im}(f_2)) + \dim A_3 \) und \(\dim(\operatorname{im}(f_2)) \geq \dim A_1 \) erhalten. Und das hilft mir nicht weiter.. Ich bin für jeden Hinweis dankbar!

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Kampfpudel
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Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2023
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-04

Hey karamur und Willkommen. Bist du dir bei der Ungleichung \(\operatorname{dim}(\operatorname{im} (f_2)) \geq \operatorname{dim} A_1\) sicher?

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Triceratops
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-04

Sei $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ exakt. Dann ist $\dim(B) = \dim(\mathrm{im}(g)) + \dim(\ker(g)) = \dim(\mathrm{im}(g)) + \dim(\mathrm{im}(f))$ Nun gilt aber $\dim(\mathrm{im}(f)) \leq \dim(A)$, weil $\mathrm{im}(f)$ ein Quotient von $A$ ist, und $\dim(\mathrm{im}(g)) \leq \dim(C)$, weil $\mathrm{im}(g)$ ein Unterraum von $C$ ist.

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karamur
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.09.2020
Mitteilungen: 4
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-04

oh vielen Dank euch beiden für die schnelle Antwort..... jetzt ist es mir klar. 👌 (ich weiß nur nicht wie und ob ich das Thema schließen soll)

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