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Universität/Hochschule J Produkte in Kategorien
Red_
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  Themenstart: 2020-09-05

Hallo, ich habe mehrere Fragen bzgl. Produkten in Kategorien. 1) Kennt man die Dimension (via Kardinalarithmetik) vom unendlichen Produkt von Vektorräumen in der Kategorie der \(K\)-Vektorräume? 2) Ich konnte zeigen, dass wenn das Produkt \((A\prod B) \prod C\) existiert, so auch \( A\prod B \prod C\), wobei beide isomorph sind. Aber die Rückrichtung gelingt mir nicht. Gibt es da Gegenbeispiele? 3) Angeknüpft an 2): ist das Produkt assoziativ (bis auf Isomorphie) fuer beliebig viele Objekte? 4) Ich lese oft, dass irgendwo steht, dass Objekte in einer Kategorie eindeutig bis auf natürliche Isomorphie sind. Aber natürliche Isomorphien ergeben doch nur beim Begriff des Fuktors Sinn und nicht bei Objekten einer Kategorie? Zum Beispiel bei Wikipedia zu Produkten und Koprodukten ,,Beide lassen sich nur bis auf natürliche Isomorphie eindeutig definieren". Ich würde tippen, dass der Isomorphismus vielleicht eindeutig ist, aber das stimmt auch nicht, wie man leicht anhand der Kategorie der Mengen sehen kann... Ich bitte um Hilfe und vielen Dank!


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-05

2) Gute Frage. Ja, es gibt Gegenbeispiele. Siehe z.B. MSE/3272737. Prinzipiell muss man nur eine Kategorie so definieren, dass es Objekte $A,B,C$ gibt, sodass $A \times B \times C$ existiert, $A \times B$ aber nicht. Das lässt sich in einer endlichen Kategorie auch explizit als Diagram aufschreiben. 3) Ja, wenn Produkte von zwei Objekten existieren, dann ist $(A \times B) \times C \cong A \times B \times C \cong A \times (B \times C)$ wie du gezeigt hast. 4) Es bedeutet "isomorph bis auf eindeutige Isomorphie", wenn du die richtige Kategorie betrachtest - konkret in diesem Fall ist es eine Isomorphie, die mit den Abbildungen $X \times Y \to X$ und $X \times Y \to Y$ sich wohlverhält. Sei $\mathscr{C}$ eine Kategorie. Für ein Produkt $(X \times Y, p_X, p_Y)$ mit den dazugehörigen Projektionen betrachte also folgende Kategorie: Objekte: $(T,f,g)$ mit $T \in \mathscr{C}$ sowie $f: T \to X$ und $g:T \to Y$. Morphismen: Ein Morphismus $(T,f,g) \to (T',f',g')$ besteht aus einem Morphismus $h:T \to T'$ in $\mathscr{C}$ mit $f = f' \circ h$ und $g = g' \circ h$. (Ich empfehle ein Bild aufzumalen.) Aus der universellen Eigenschaft des Produktes folgt die Eindeutigkeit eines Isomorphismus. (Das Produkt ist das terminale Objekt dieser Kategorie.) Beachte, dass man diese Kategorie betrachten will und nicht nur $\mathscr{C}$, denn das Produkt selbst ist bereits nicht nur das Objekt $X \times Y$, sondern das Tupel $(X \times Y, p_X, p_Y)$. Oft unterdrückt man bloß die Projektionen aus der Notation.


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Red_
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-05

Hey, 2) Danke, super Beispiel! 3) Ah danke sehr. Unter der Annahme, dass das Produkt von zwei Objekten immer existiert, kann man ja zeigen, dass das Produkt fuer endlich viele Objekte auch existiert (ich glaube das muesste einfach sein, aber laestig formal aufzuschreiben) und die Klammerung ist egal. Existiert denn dann das Produkt von unendlichen vielen Objekten auch und ist die Klammerung dort auch egal, wie im endlichen Fall? Ich bemerke gerade, dass die Aussage nicht stimmt: In der Kategorie der endlich dimensionalen Vektorraeume existiert das Produkt von zwei Vektorraeumen, aber das unendliche Produkt nicht mehr (wenn unendlich viele von 0 verschieden sind). Der Beweis geht einfach ueber die Betrachtung von endlich vielen Produkten, dass man diese notwendig einbetten kann in das unendliche Produkt und somit die Dimension gegen unendlich geht. 4) Ich sehe, dass du oefters das Symbol \(\times\) fuer \(\prod\) benutzt. Und online wird oft \(\oplus\) fuer \(\coprod\) benutzt. Sind beide Notationen ueblich und gibt es noch mehr? Und danke fuer diese Beschreibung, jetzt ist es viel klarer. Aber eine Frage bleibt offen: Was hat man von einem eindeutigen Isomorphismus? Vielleicht dass man keine Wahl treffen muss zwischen den isomorphen Objekten, da es sowieso nur einen Isomorphismus gibt und es "praktisch" das Selbe dann ist, ob ich das Objekt oder das isomorphe Objekt betrachte?


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-05

1) Für eine unendliche Menge $I$ und eine Familie von $K$-Vektorräumen $V_i \neq 0$ gilt $\dim(\prod_{i \in I} V_i) = \prod_{i \in I} \mathrm{card}(V_i)$. Der Spezialfall $V_i=K$ ist der Satz von Erdös-Kaplansky. Der allgemeine Fall lässt sich darauf reduzieren. Siehe MO/49551.


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-05

2) Betrachte die Pfadkategorie des folgenden Graphen: $\xymatrix{ A && B && C \\ & P \ar[ur] \ar[ul] &&& \\ && Q \ar@/^2pc/[uull] \ar@/_2pc/[uurr] \ar[uu] && }$ Hier gilt $A \times B \times C = Q$, aber $A \times B$ existiert nicht. (Diese Kategorie ist tatsächlich eine partielle Ordnung. Du kannst den Graphen entsprechend als ihr Hasse-Diagramm ansehen.)


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-05

\quoteon(2020-09-05 15:43 - Red_ in Beitrag No. 2) Unter der Annahme, dass das Produkt von zwei Objekten immer existiert, kann man ja zeigen, dass das Produkt fuer endlich viele Objekte auch existiert (ich glaube das muesste einfach sein, aber laestig formal aufzuschreiben) und die Klammerung ist egal. \quoteoff Man braucht noch ein finales Objekt, also das leere Produkt. (Das ergibt sich nicht aus der Existenz von binären Produkten.) Das ist der Induktionsanfang. Nun angenommen, binäre Produkte und $n$-fache Produkte existieren für ein $n \in \IN$. Dann existieren auch $n+1$-fache Produkte. Dazu definiert man das Objekt $X_1 \times \cdots \times X_{n+1} := (X_1 \times \cdots \times X_n) \times X_{n+1}$ und prüft, dass es die richtige universelle Eigenschaft erfüllt: Für alle Testobjekte $T$ haben wir $\quad \hom(T,(X_1 \times \cdots \times X_n) \times X_{n+1})$ $\cong \hom(T,X_1 \times \cdots \times X_n) \times \hom(T,X_{n+1})$ $\cong (\hom(T,X_1) \times \cdots \times \hom(T,X_n)) \times \hom(T,X_{n+1})$ $\cong \hom(T,X_1) \times \cdots \times \hom(T,X_n) \times \hom(T,X_{n+1}).$ Ich habe hier also letztlich die Behauptung vom Spezialfall $\mathbf{Set}$ auf beliebige Kategorien ausgedehnt. Das ist ein typisches Vorgehen. \quoteonExistiert denn dann das Produkt von unendlichen vielen Objekten auch und ist die Klammerung dort auch egal, wie im endlichen Fall? \quoteoff Die erste Aussage hast du ja bereits widerlegt. Sofern aber alle Produkte existieren, ist ihre Klammerung egal. \quoteon4) Ich sehe, dass du oefters das Symbol \(\times\) fuer \(\prod\) benutzt. Und online wird oft \(\oplus\) fuer \(\coprod\) benutzt. Sind beide Notationen ueblich und gibt es noch mehr? \quoteoff Ja beide Notationen sind üblich. Für binäre Produkte ist $\times$ viel üblicher als $\prod$. Und $\oplus$ verwendet man eher bei Koprodukten von algebraischen Objekten, die an die direkte Summe von abelschen Gruppen erinnern. In spezielleren Kategorien verwendet man meistens ohnehin spezielle Notationen. Es würde auch niemand auf die Idee kommen, das kgV von zwei natürlichen Zahlen $n,m$ als $n \oplus m$ zu bezeichnen, obwohl es ja das Koprodukt bezüglich der Teilerordnung ist. \quoteonUnd danke fuer diese Beschreibung, jetzt ist es viel klarer. Aber eine Frage bleibt offen: Was hat man von einem eindeutigen Isomorphismus? \quoteoff Ein eindeutiger Isomorphismus ist das beste, was einem nur passieren kann. Wenn zwei Objekte $X,Y$ in einer Kategorie eindeutig isomorph sind, dann kann man sie für alle Zwecke miteinander identifizieren. Sämtliche Aussagen über $X$ gelten auch für $Y$, und umgekehrt.


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Red_
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-05

Danke Triceratops, nach so einem Beispiel habe ich auch gesucht. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Red_
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-05

Hallo Triceratops, erneut danke für deine ausführliche Hilfe! Ich verstehe aber folgendes nicht ganz: \quoteon $X_1 \times \cdots \times X_{n+1} := (X_1 \times \cdots \times X_n) \times X_{n+1}$ und prüft, dass es die richtige universelle Eigenschaft erfüllt: Für alle Testobjekte $T$ haben wir $\quad \hom(T,(X_1 \times \cdots \times X_n) \times X_{n+1})$ $\cong \hom(T,X_1 \times \cdots \times X_n) \times \hom(T,X_{n+1})$ $\cong (\hom(T,X_1) \times \cdots \times \hom(T,X_n)) \times \hom(T,X_{n+1})$ $\cong \hom(T,X_1) \times \cdots \times \hom(T,X_n) \times \hom(T,X_{n+1}).$ Ich habe hier also letztlich die Behauptung vom Spezialfall $\mathbf{Set}$ auf beliebige Kategorien ausgedehnt. Das ist ein typisches Vorgehen. \quoteoff In wie fern ist dies äquivalent zu der universellen Eigenschaft des Produkt? Ich hatte folgende Vermutung: Let \(\mathcal{C}\) be a (locally small) category. Now consider an index set \(I\) with objects \(X_i \in \mathcal{C}\) for all \(i\in I\). Then the following statements are equivalent: (i) The product \((\prod_{i\in I} X_i, (\operatorname{pr}_i)_{i\in I})\) exists. (ii) \(\exists \, X\in \mathcal{C} : \forall \, T\in \mathcal{C} : \exists \, \varphi_T : \operatorname{hom}(T,X) \to \prod_{i\in I}{\operatorname{hom}{(T,X_i}}) \), which is bijective and satisfy the identity \(\varphi_T(f)=((\varphi_X(\text{id}_X))_i \circ f)_{i\in I}\). Aber irgendwie erscheint meins zu kompliziert, als es deins sein könnte (weil ich die zweite Bedingung rechts brauche, um die Projektionen zu konstruieren...). Vielleicht kannst du das bitte näher ausführen. \quoteon(2020-09-05 16:35 - Triceratops in Beitrag No. 5) Ein eindeutiger Isomorphismus ist das beste, was einem nur passieren kann. \quoteoff Sogar besser als im Lotto zu gewinnen! \quoteon Wenn zwei Objekte $X,Y$ in einer Kategorie eindeutig isomorph sind, dann kann man sie für alle Zwecke miteinander identifizieren. Sämtliche Aussagen über $X$ gelten auch für $Y$, und umgekehrt. \quoteoff Intuitiv stimme ich dir zu, aber warum geht es z.B. nicht, wenn man mehrere Isomorphismen hat? Isomorphismen sind ja gerade dazu gedacht, dass man Objekte miteinander identifizieren kann. Also ich habe schon manchmal das Problem isomorphe Objekte als gleich anzusehen, wenn es mehrere Isomorphismen gibt, weil ich mir ja einen Isomorphismus dann aussuchen muss und ein anderer Isomorphismus vielleicht eine "einfacherer Struktur" bieten würde. Oder letztens hatte ich das Problem, dass ich isomorphe Kategorien hatte und es mehrere Isomorphismen geben könnte. Meine Frage war, dass wenn ich eine Eigenschaft bei der einen Kategorie definieren, ich sie "einfach mittels des Isomorphismus" übertragen kann, aber dass dies nur für kategorische(?) Definitionen möglich ist (d.h. sozusagen unabhängig von der Wahl des invertierbaren Funktors - um genau zu sein ging es darum, dass eine endlich dimensionale Gruppendarstellung irreduzibel ist, gdw. die Darstellung in Matrixform irreduzibel ist...). Aber wenn man einen eindeutigen Isomorphismus hat, dann kann man wirklich alles übertragen von einem auf das andere Objekt, ohne sich darüber Sorgen zu machen, ob es abhängig von der Wahl des Isomorphismus ist. Kann man sich das ungefähr so vorstellen wie ich oben beschrieben habe?


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Triceratops
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  Beitrag No.8, eingetragen 2020-09-05

Zur ersten Frage: Ein Produkt $X \times Y$ ist ein Objekt zusammen mit einem Isomorphismus von Funktoren $\hom(-,X \times Y) \cong \hom(-,X) \times \hom(-,Y)$. Analog mit mehreren Objekten. Die Äquivalenz zur "üblicheren" Definition folgt aus dem Yoneda-Lemma. Die Details werden in jedem Lehrbuch zur Kategorientheorie erklärt.


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  Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-05

Das Problem an Isomorphismen, die nicht eindeutig bestimmt sind (wie Kezer bereits erklärt hat, ergibt sich die Eindeutigkeit natürlich nur in geeigneten Hilfskategorien, damit man noch Eigenschaften fordern kann, wie etwa die Kompatibilität mit anderen Morphismen aus dem Kontext), ist dass man jedes mal sich an ihre Definition erinnern müsste, und dass ihre Konstruktionen in der Regel auch relativ willkürlich sind. Es kommt sogar vor (etwa bei Isomorphismen zwischen verschiedenen algebraischen Abschlüssen eines Körpers), dass ihre Existenz nur aus dem Auswahlaxiom folgt. Man kann damit einfach nicht so gut arbeiten. Du hast natürlich Recht, dass in der Regel auch zwischen isomorphen Objekten alles übertragen werden kann, allerdings ist es ja auch in der Praxis wichtig, zu wissen, wie diese Übertragung aussieht, sprich wie dieser Isomorphismus definiert ist. Beispiel: Es gibt einen Isomorphismus von Körpern $\overline{\IC(x)} \cong \IC$ (je zwei algebraisch abgeschlossene Körper derselben Charakteristik und derselben Kardinalität sind isomorph, wie man sich mit Transzendenzbasen überlegen kann), aber man kann keinen Isomorphismus hier wirklich konkret hinschreiben, und entsprechend unbrauchbar ist diese Isomorphie in der Praxis dann auch meistens.


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Red_
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06

\quoteon(2020-09-05 23:01 - Triceratops in Beitrag No. 8) Zur ersten Frage: Ein Produkt $X \times Y$ ist ein Objekt zusammen mit einem Isomorphismus von Funktoren $\hom(-,X \times Y) \cong \hom(-,X) \times \hom(-,Y)$. Analog mit mehreren Objekten. Die Äquivalenz zur "üblicheren" Definition folgt aus dem Yoneda-Lemma. Die Details werden in jedem Lehrbuch zur Kategorientheorie erklärt. \quoteoff Danke, die Äquivalenz konnte ich zeigen, jedoch bei einer Richtung Yoneda-Lemma angewendet, bei der anderen Richtung musste ich rechnen... Ich sehe aber noch nicht ganz wie du in Beitrag Nr.5 gezeigt hast, dass ein natürlicher Isomorphismus existiert. Du hast ja gezeigt, dass die Mengen alle isomorph sind, aber die Natürlichkeit (d.h. Kommutativität) müsste man explizit nachrechnen, indem man deine Isomorphismen genau hinschreibt? Und das mit dem eindeutigen Isomorphismus ist einleuchtend! Jetzt aber die Frage: Kann es sein, dass es nur einen eindeutigen Isomorphismus gibt, den man aber nicht konkret hinschreiben kann?


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Triceratops
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  Beitrag No.11, eingetragen 2020-09-06

1) Es ist eine Komposition von natürlichen Isomorphismen. (Jeweils ist die Natürlichkeit trivial / eine Folge von Definitionen.) 2) Vermutlich muss es so etwas geben.


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Red_
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06

Ach so, vielen Dank, ich muss noch mehr Übung kriegen und mit einem richtigen Buch arbeiten! Danke dir!


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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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