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Analysis » Ungleichungen » Oberschranke für positiv definite Matrix
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Universität/Hochschule Oberschranke für positiv definite Matrix
mbInfoStudent
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  Themenstart: 2020-09-06

In meinem Buch kann ich eine Ungleichung in einem Beweis nicht nachvollziehen: Seie $f$ eine Funktion, wobei $\nabla^2f(x)$ positiv definit ist, mit $\lambda_{min}(\nabla^2 f(x))>\mu$ (wobei $\lambda_{min}=$kleinster Eigenwert). Nun ist die folgende Ungleichung gegeben: $$\|\nabla^2f(x)^{-1}\nabla f(x)\| \leq \frac{1}{\mu}\|\nabla f(x)\|$$ Ich weiß, dass $\|\nabla^2f(x)^{-1}$ auch pos. definit ist und somit gilt: $$\|\nabla f(x)^T\nabla^2f(x)^{-1}\nabla f(x)\| > 0, \forall x\neq 0$$ Ich denke (bin mir nicht aber sicher), dass auch gilt: $$\|\nabla^2f(x)^{-1}\nabla f(x)\| \geq \lambda_{min}(\nabla^2 f(x))\nabla f(x) > \mu \nabla f(x)$$. Ich komme aber nicht auf: $$\|\nabla^2f(x)^{-1}\nabla f(x)\| \leq \frac{1}{\mu}\|\nabla f(x)\|$$ Kann mir jemand kurz auf die Sprunge helfen?

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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\) Hallo, sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $\lambda$ der größte Eigenwert von $A^TA$. Dann gilt $$ \|Av\|\leq \sqrt\lambda \|v\|$$ für alle Vektoren $v\in \IR^n$ (vorausgesetzt $\|\|$ ist die euklidische Norm). Wenn du das auf $A:=\nabla^2 f(x)^{-1}$ anwendest, kannst du $$\|\nabla^2f(x)^{-1}\nabla f(x)\| \leq \frac{1}{\mu}\|\nabla f(x)\|$$ folgern.\(\endgroup\)

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mbInfoStudent
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06

Hallo @Nuramon, ich leider nicht wie ich von $\lambda_{max\{A^TA\}}$ auf $\lambda_{min{A}}$ schließen kann. Denn seie $\lambda' := \lambda_{max\{\nabla^2f(x)^{-T}\nabla^2f(x)^{-1}\}}$ und $\lambda_{min}$ der kleinste Eigenwert von $\nabla^2f(x)^{-1}$ (aber nicht von , dann folgt nach dem von Ihnen genannten Satz: $$\|\nabla^2f(x)^{-1}\nabla f(x)\|\leq \sqrt{\lambda'}\nabla \|f(x)\|$$ Aber ich sehe nicht wie ich von $\lambda'$, was der größte Eigenwert von $A^TA$ ist, auf $\lambda_{min}$ was der kleinste Eigenwert von $A$ ist, schließen kann.

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Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\) Symmetrische Matrizen $A$ (also insbesondere auch positiv definite Matrizen) sind orthogonal diagonalisierbar. Kannst du daraus einen Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von $A$ und von $A^TA$ herleiten? Außerdem solltest du dir überlegen, wie die Eigenwerte von $A$ und $A^{-1}$ zusammenhängen.\(\endgroup\)

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mbInfoStudent
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06

Danke für die Tipps, aber ich hänge immer noch fest. Was ich weiß: Ist $\lambda$ Eigenwert von $\nabla^2f(x)$, dann ist $\frac{1}{\lambda}$ der entsprechende Eigenwert für denselben Eigenvektor von $\nabla^2f(x)^{-1}$. Somit folgt, dass wenn $\mu < \lambda_{min}$ von $\nabla^2f(x)$, dann ist $\frac{1}{\mu} > \lambda_{max}$ von $\nabla^2f(x)^{-1}$. Da symmetrische Matrix orthogonal diagonalisierbar ist, gilt, dass die Eigenwerte von $A$, die Diagonaleinträge von $D$ sind, mit $D=S^TAS$, wobei $S$ eine orthogonale Matrix ist. Ich kann aber zwei Zusammenhänge noch nicht erkennen: 1. Zusammenhang zwischen $A$ und $A^TA$. 2. Laut dem Satz was du erwähnt hast, gilt für $\forall v \in \mathbb{R}^n$ :$\|Av\|\leq \sqrt{\lambda_{max}}\|v\|$, womit gilt $\|A^{-1}v\|\leq \sqrt{\frac{1}{\lambda_{min}}}\|v\|$. Aber daraus folgt ja nicht $\|A^{-1}v\|\leq {\frac{1}{\lambda_{min}}}\|v\| $?

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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\) \quoteon Ist $\lambda$ Eigenwert von $\nabla^2f(x)$, dann ist $\frac{1}{\lambda}$ der entsprechende Eigenwert für denselben Eigenvektor von $\nabla^2f(x)^{-1}$. Somit folgt, dass wenn $\mu < \lambda_{min}$ von $\nabla^2f(x)$, dann ist $\frac{1}{\mu} > \lambda_{max}$ von $\nabla^2f(x)^{-1}$. \quoteoff Korrekt. Du könntest vielleicht noch betonen, dass du verwendet hast, dass die Eigenwerte positiv sind (warum gilt das?). \quoteon(2020-09-06 14:45 - mbInfoStudent in Beitrag No. 4) Da symmetrische Matrix orthogonal diagonalisierbar ist, gilt, dass die Eigenwerte von $A$, die Diagonaleinträge von $D$ sind, mit $D=S^TAS$, wobei $S$ eine orthogonale Matrix ist. \quoteoff Ich weiß nicht, ob du es nur schlecht formuliert hast, oder ob hier ein Verständnisproblem vorliegt. Daher zur Sicherheit die richtige Definition: $A$ ist orthogonal diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix $D$ und eine Orthogonalmatrix $S$ gibt mit $D = S^TAS$. \quoteon Ich kann aber zwei Zusammenhänge noch nicht erkennen: 1. Zusammenhang zwischen $A$ und $A^TA$. \quoteoff Versuche mit Hilfe von $D= S^TAS$ die Matrix $A^TA$ zu diagonalisieren. \quoteon 2. Laut dem Satz was du erwähnt hast, gilt für $\forall v \in \mathbb{R}^n$ :$\|Av\|\leq \sqrt{\lambda_{max}}\|v\|$, womit gilt $\|A^{-1}v\|\leq \sqrt{\frac{1}{\lambda_{min}}}\|v\|$. Aber daraus folgt ja nicht $\|A^{-1}v\|\leq {\frac{1}{\lambda_{min}}}\|v\| $? \quoteoff Wenn du 1. verstanden hast, dann sollte das klarer werden. Das $\lambda_{min}$ bzw. $\lambda_{max}$ bezieht sich hier ja auf die Eigenwerte von $A^TA$, nicht auf die von $A$.\(\endgroup\)

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