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  Schnitt zweier Untervektorräume |
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MePep
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 |  Themenstart: 2020-09-09
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Hallo!
Ich habe zwei Fragen:
1) Seien $U = \Bigg\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\rangle$ und $V = \Bigg\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\rangle$.
Nun möchte man eine Basis des Schnittes $U \cap V$ der beiden Untervektorräume des $\mathbb{R}^{3}$ bestimmen.
Ich wollte wissen ob dieses Verfahren funktionert: In U und V sind jeweils beide Vektoren linear unabhängig zueinander, also haben beide Untervektorräume die Dimension 2. Beide Basen stellen Vektoren durch eindeutige LK dar. Man kann dadurch ein LGS auftsellen indem man diese Darstellung gleichsetzt und umstellt und erhält aus der Zeilenstufenform die Lösungsmenge.
-------------------------------------------------------------------
2) Wenn man einen Untervektorraum in einer Mengendefinition wie z.B.
$U_{1} = \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4} | x + y -2z +3w = 0\}$ gegeben hat, wie finde ich dann die Dimension heraus, bzw eine Basis dieses Raums?
x + y -2z +3w = 0 ist ja ein Gleichungssystem. Wenn ich jetzt z.B. 3 dieser Variablen festsetze erhalte ich ja einen Vektor aus der Menge, indem ich die letzte unbekannte ausrechne (basierend auf den gewählten Parametern). Aber ich wüsste jetzt gerade nicht wie ich auf eine Basis komme.
Mfg!
Edit: Beobachtung zu 1):
Es ist sicherlich hilfreich bei der Span darstellung zu prüfen ob die Vektoren nicht nur innerhalb des Spans, sondern auch Span-übergreifend linear unabhängig sind oder? Ich sehe nämlich gerade das für den zweiten Vektor aus V gilt:
v2 = u2 - u1
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo MePep,
\quoteon(2020-09-09 18:34 - MePep im Themenstart)
Hallo!
Ich habe zwei Fragen:
1) Seien $U = \Bigg\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\rangle$ und $V = \Bigg\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\rangle$.
Nun möchte man eine Basis des Schnittes $U \cap V$ der beiden Untervektorräume des $\mathbb{R}^{3}$ bestimmen.
Ich wollte wissen ob dieses Verfahren funktionert: In U und V sind jeweils beide Vektoren linear unabhängig zueinander, also haben beide Untervektorräume die Dimension 2. Beide Basen stellen Vektoren durch eindeutige LK dar. Man kann dadurch ein LGS auftsellen indem man diese Darstellung gleichsetzt und umstellt und erhält aus der Zeilenstufenform die Lösungsmenge.
\quoteoff
Wenn du hier das LGS
\[x\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+y\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=u\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+v\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]
meinst: ja, das ist richtig.
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\quoteon(2020-09-09 18:34 - MePep im Themenstart)
2) Wenn man einen Untervektorraum in einer Mengendefinition wie z.B.
$U_{1} = \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4} | x + y -2z +3w = 0\}$ gegeben hat, wie finde ich dann die Dimension heraus, bzw eine Basis dieses Raums?
x + y -2z +3w = 0 ist ja ein Gleichungssystem. Wenn ich jetzt z.B. 3 dieser Variablen festsetze erhalte ich ja einen Vektor aus der Menge, indem ich die letzte unbekannte ausrechne (basierend auf den gewählten Parametern). Aber ich wüsste jetzt gerade nicht wie ich auf eine Basis komme.
\quoteoff
Einfach jeweils einen der Parameter gleich 1 setzen und die beiden anderen gleich Null. Ergibt hier drei Basisvektoren wie richtig vermutet.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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MePep
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-09
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\quoteon(2020-09-09 18:54 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hallo MePep,
\quoteon(2020-09-09 18:34 - MePep im Themenstart)
Hallo!
Ich habe zwei Fragen:
1) Seien $U = \Bigg\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\rangle$ und $V = \Bigg\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\rangle$.
Nun möchte man eine Basis des Schnittes $U \cap V$ der beiden Untervektorräume des $\mathbb{R}^{3}$ bestimmen.
Ich wollte wissen ob dieses Verfahren funktionert: In U und V sind jeweils beide Vektoren linear unabhängig zueinander, also haben beide Untervektorräume die Dimension 2. Beide Basen stellen Vektoren durch eindeutige LK dar. Man kann dadurch ein LGS auftsellen indem man diese Darstellung gleichsetzt und umstellt und erhält aus der Zeilenstufenform die Lösungsmenge.
\quoteoff
Wenn du hier das LGS
\[x\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+y\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=u\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+v\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]
meinst: ja, das ist richtig.
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\quoteon(2020-09-09 18:34 - MePep im Themenstart)
2) Wenn man einen Untervektorraum in einer Mengendefinition wie z.B.
$U_{1} = \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4} | x + y -2z +3w = 0\}$ gegeben hat, wie finde ich dann die Dimension heraus, bzw eine Basis dieses Raums?
x + y -2z +3w = 0 ist ja ein Gleichungssystem. Wenn ich jetzt z.B. 3 dieser Variablen festsetze erhalte ich ja einen Vektor aus der Menge, indem ich die letzte unbekannte ausrechne (basierend auf den gewählten Parametern). Aber ich wüsste jetzt gerade nicht wie ich auf eine Basis komme.
\quoteoff
Einfach jeweils einen der Parameter gleich 1 setzen und die beiden anderen gleich Null. Ergibt hier drei Basisvektoren wie richtig vermutet.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Danke für die rasche Antwort :)
Wenn ich das LGS bei 1) auf Zeilenstufenform bringe, erhalte ich:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
Irgendwie weiß ich gerade aber noch nicht so ganz wie ich jetzt daraus eine Basis bilde... oder diese zu interpretieren habe. Der Grundgedanke ist mir klar, aber irgendwie dämmert es mir gerade nicht. Ich habe ja 4 Unbekannte.
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MePep
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-09
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Das war mein Fehler, ich denke man muss die Komponenten unabhängig voneinander betrachten, also in Ihrem vorgeschlagenen LGS gehören {x,y} und {u,v} zusammen, und am Ende kann man entweder das eine oder das andere verwenden um auf die Erzeuger und die Basis zu kommen oder?
Edit:
Ahh ich glaube jetzt verstehe ich es ein bisschen besser. Es lassen sich x,y und u,v aus der Zeilenstufenform berechnen, diese setzt man dann wieder in die Ursprüngliche Gleichung ein. Auf beiden Seiten kommt logischer weise das selbe raus (sollte es :P)
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Diophant
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-09
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Hallo MePep,
nochmal kurz zu dem LGS. Das ist ein 3x4 LGS, und zwar ein homogenes.
Wenn du das - bspw. per ZSF - löst, dann wird die Lösung hier von einem Parameter abhängen. Also ist der Schnitt eindimensional.
Denke auch hier wieder geometrisch: den beiden Untervektorräume entsprechen Ebenen, deren Schnitt ist dann was für ein Objekt?
PS: deine obige Matrix in Zeilenstufenform ist richtig. 👍
Wird es dadurch klarer?
Gruß, Diophant
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MePep
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-09
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\quoteon(2020-09-09 20:31 - Diophant in Beitrag No. 4)
Hallo MePep,
nochmal kurz zu dem LGS. Das ist ein 3x4 LGS, und zwar ein homogenes.
Wenn du das - bspw. per ZSF - löst, dann wird die Lösung hier von einem Parameter abhängen. Also ist der Schnitt eindimensional.
Denke auch hier wieder geometrisch: den beiden Untervektorräume entsprechen Ebenen, deren Schnitt ist dann was für ein Objekt?
PS: deine obige Matrix in Zeilenstufenform ist richtig. 👍
Wird es dadurch klarer?
Gruß, Diophant
\quoteoff
Ja danke :)
Ich weiß nicht warum ich mich von LGS immer so verwirren lasse.
Ich habe jetzt $\Bigg \{ t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\}$ als Lösungsmenge heraus. Dies sind ja erzeuger des Schnitts. Eine Basis des würde dann also aus einem dieser Erzeuger bestehen, also z.B. für t = 1. Also hat der Schnitt Dimension 1 und ist eine Gerade. (Ich gehe mal davon aus geometrisch gesehen fährt diese Gerade eben den Schnittpunkt der beiden Ebenen entlang)
Vielen Dank nochmal!
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Diophant
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-09
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Hallo,
die Lösungsmenge stimmt IMO so noch nicht. Könntest du da deinen Rechenweg noch angeben?
Deine restlichen Ausführungen passen soweit. Bis auf die Tatsache, dass zwei Ebenen sich nicht in einem Punkt schneiden, sondern in einer Schnittgeraden. Diese ist dann der Schnitt der beiden Unterräume.
Gruß, Diophant
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-09
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Nachtrag:
Kommando zurück. Deine Lösungsmenge für den UVR ist ebenfalls richtig.
Das kommt davon, wenn man neben dem Kochen kopfrechnend Fragen beantwortet. Sorry dafür.
Gruß, Diophant
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MePep
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-09
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\quoteon(2020-09-09 22:02 - Diophant in Beitrag No. 7)
Nachtrag:
Kommando zurück. Deine Lösungsmenge für den UVR ist ebenfalls richtig.
Das kommt davon, wenn man neben dem Kochen kopfrechnend Fragen beantwortet. Sorry dafür.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Ok danke! Ja mit Schnitt"Punkt" meinte ich eigentlich auch eine Gerade, unglücklich ausgedrückt... vielen vielen Dank nochmal 🙂
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MePep hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MePep hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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