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Strukturen und Algebra » Polynome » Polynome vs. Polynomfunktionen
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Universität/Hochschule Polynome vs. Polynomfunktionen
Gantz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-14


Zwei Polynome gelten als gleich, wenn die Koeffizienten der Glieder mit den entsprechenden Exponenten gleich sind. Wenn zwei Polynome in diesem Sinne gleich sind , sind sie dann auch gleich als Polynomfunktionen, d.h. ergeben sie immer das gleiche Resultat für gleiche Werte der unabhängigen Variablen? Wenn dagegen die entsprechenden Koeffizienten der beiden Polynomfunktionen nicht gleich sind, ergeben sie dann immer unterschiedliche Werte für den gleichen Wert der unabhängigen Variablen? Gilt das insbesondere für den Bereich der ganzen Zahlen, und wo kann ich einen Beweis dafür finden (gern auch in Englisch)?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und Willkommen hier im Forum!

2020-09-14 16:30 - Gantz im Themenstart schreibt:
Zwei Polynome gelten als gleich, wenn die Koeffizienten der Glieder mit den entsprechenden Exponenten gleich sind. Wenn zwei Polynome in diesem Sinne gleich sind , sind sie dann auch gleich als Polynomfunktionen, d.h. ergeben sie immer das gleiche Resultat für gleiche Werte der unabhängigen Variablen?

Hier muss man insofern aufpassen, als das Polynom alleine ja nicht die Funktion ist, sondern nur deren Zuordnungsvorschrift. Damit man zwei gleiche Funktionen hat, müssen diese in Definitionsmenge, Zielmenge und Zuordnungsvorschrift übereinstimmen. Wenn du das aber so meinst, dass die Polynome jeweils über ganz \(\IR\) betrachtet werden, dann ergibt sich aus der Gleichheit der Koeffizienten natürlich auch die Gleichheit der Funktionen.

2020-09-14 16:30 - Gantz im Themenstart schreibt:
Wenn dagegen die entsprechenden Koeffizienten der beiden Polynomfunktionen nicht gleich sind, ergeben sie dann immer unterschiedliche Werte für den gleichen Wert der unabhängigen Variablen?

Nein, natürlich nicht. Denke an Schnittpunkte von Funktionsgraphen.

2020-09-14 16:30 - Gantz im Themenstart schreibt:
Gilt das insbesondere für den Bereich der ganzen Zahlen, und wo kann ich einen Beweis dafür finden (gern auch in Englisch)?

Das solltest du noch präzisieren, hier wird m.A. nicht klar, um was es dir genau geht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-14


Hallo Gantz,

wenn zwei Polynome f(x) und g(x) mit reellen Koeffizienten und dem Grad n für n+1 reelle Werte x0, x1, ..., xn denselben Wert liefern, sind sie identisch.

Das gilt dann insbesondere für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten und n+1 ganzen Zahlen.

Wenn du Polynome über anderen Ringen betrachtest, kann es sein, dass unterschiedliche Polynome dieselbe Polynomfunktion liefern. Bspw. über \(\IZ_2\) liefern die Polynome x+1 und x²+1 für alle \(x\in\IZ_2\) denselben Wert. Dennoch sind die Polynome verschieden.



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Gantz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16


Vielen Dank für die hilfreichen Antworten.
Ich beschränke mich bei meinen Betrachtungen ausschließlich auf ganze Zahlen, sowohl bei den Koeffizienten, als auch bei den Werten der unabhängigen Variablen. Ich würde nur gern in einer Veröffentlichung eine Literaturstelle angeben, in der der insbesondere ein Beweis für die Ungleichheit der Werte der Polynomfunktionen bei unterschiedlichen Koeffizienten, aber gleichen Werten der unabhängigen Variablen für den Ring ganzer Zahlen dargestellt ist.

Denn ich verstehe nicht, warum bei unterschiedlichen Koeffizienten in den beiden Polynomfunktionen sich nicht i m m e r unterschiedliche Werte für die Funktionen für gleiche Werte der unabhängigen Variablen ergeben sollen? Denn eigentlich müsste das ja einfach aus der Umkehrung des Gleichheitstheorems folgen.

In der Veröffentlichung steht z.B. folgendes:
Two polynomials are considered equal if they have equal coefficients of corresponding powers of the independent variable, after like terms are combined. If two polynomials are equal in this sense, then they are equal as functions; i.e., they give equal results for equal values of the independent variable. The converse is false for some fields. For example, x and x 2 do not have equal coefficients, but they are equal for both values in the tiny field Z2. It is true for infinite fields, such as the field of real numbers, but this is a theorem that requires proof.

Der letzte Satz bestätigt eigentlich meine Vermutung bezüglich der Ungleichheit der Funktionswerte bei ungleichen Koeffizienten, aber gleichen Werten der unabhängigen Variablen, denn ich betrachte nur den Ring der ganzen Zahlen. Nur der geforderte Beweis ist nicht dargestellt.

Ich habe aber dazu noch weitere Fragen:

Gilt das auch,
- wenn beide Polynome nicht den gleichen Grad haben?
- wenn in einem oder in beiden Polynomen Glieder mit bestimmten Exponenten fehlen?
- wenn in einem oder beiden Polynomen Glieder mit negativen Koeffizienten enthalten sind?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-16


Deine Fragen sind unklar, wenn z.B. zwei Polynome unterschiedlichen Grad haben, so sind sie natürlich automatisch unterschiedlich. Für geeignete Körper müssen sie aber natürlich nicht die gleiche Polynomfunktion liefern (betrachte wie so oft das einfachste Beispiel $\mathbb{F}_2$).

Der Beweis für deine Aussage zu ganzen Zahlen ist nicht so schwierig:

Lemma. Sei $R$ ein unendlicher Ring und $f,g \in R[x]$. Falls $f(a) = g(a)$ für alle $a \in R$ gilt, dann ist $f = g$.

Beweis. Das Polynom $f-g \in R[x]$ hat unendlich viele Nullstellen, folglich $f-g = 0$.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-16


2020-09-16 12:12 - Kezer in Beitrag No. 4 schreibt:

Beweis. Das Polynom <math>f-g \in R[x]</math> hat unendlich viele Nullstellen, folglich <math>f-g = 0</math>.

Gilt das auch in nicht kommutativen Ringen?
Gilt das auch, wenn es Nullteiler gibt?

Für Integritätsbereiche ist es klar, weil es dann auch Polynome im Körper der Brüche sind.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-16


Sorry, $R$ sei ein Integritätsbereich.


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-16


Hallo
du hast doch die 2 Polynoms p(x)=0*x^2+x+2 und q(x)=x^2+2  p(1)=q(1)=3
und natürlich kannst du leicht weitere Beispiele mit unterschiedlichen p und q aber gleichen werten konstruieren.
oder hab ich dein Problem mißverstanden?
lul


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Gantz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16


Danke für die Antworten. Ich möchte aber wissen, ob zwei Polynomfunktionen mit unterschiedlichen Koeffizienten für gleiche Werte der unabhängigen Variablen niemals gleiche Funktionswerte ergeben Können, und das im Bereich der ganzen Zahlen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das Problem ist, dass du bisher nicht präzisiert hast, was

2020-09-16 13:20 - Gantz in Beitrag No. 8 schreibt:
...niemals gleiche Funktionswerte ergeben Können...

(bzw. das Gegenteil davon) bedeuten soll.

a) - zwei Polynome mit unterschiedlichen Koeffizienten stimmen in allen Funktionswerten überein

oder

b) - zwei Polynome mit unterschiedlichen Koeffizienten besitzen gleiche Funktionswerte in dem Sinn, dass es Werte x aus der betrachteten Grundmenge gibt, so dass \(P(x)=Q(x)\) gilt.

?


Gruß, Diophant



\(\endgroup\)


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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-09-16


2020-09-16 13:20 - Gantz in Beitrag No. 8 schreibt:
Danke für die Antworten. Ich möchte aber wissen, ob zwei Polynomfunktionen mit unterschiedlichen Koeffizienten für gleiche Werte der unabhängigen Variablen niemals gleiche Funktionswerte ergeben Können, und das im Bereich der ganzen Zahlen.
p = X + 1
und q = 1

sind verschieden und haben für X=0 den gleichen Funktionswert.

p = X + 1
und q = X + 2

haben nie den gleichen Funktionswert. Noch Fragen?



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Gantz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16


Nochmal:
Ich habe 2 Polynomfunktionen vom gleichen Grad, bei denen sich aber sämtliche Koeffizienten unterscheiden. Können die Funktionswerte für einen beliebigen Wert der unabhängigen Variablen jemals gleich sein im unendlichen Bereich der ganzen Zahlen? Und wo ist evtl. ein Beweis dafür zu finden, dass das nicht sein kann, auf den man sich berufen kann?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-09-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

über \(\IZ\) gilt für die beiden Polynome \(p(x)=x^2\) und \(q(x)=-x^2+2x\):

\[p(0)=q(0)=0\]
sowie

\[p(1)=q(1)=1\]
So, wenn das jetzt deine Frage bzw. dein Problem nicht trifft: dann musst du es verständlich formulieren.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Gantz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16


Hallo Diophant,
dein Beispiel gilt aber nur in Z2, denn wenn ich z.B.x=3 einsetze, sind die Funktionswerte nicht gleich. Mich interessiert aber n u r der unendliche Bereich Z und nicht ein endlicher Bereich wie Z2.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-09-16


2020-09-16 14:04 - Gantz in Beitrag No. 13 schreibt:
dein Beispiel gilt aber nur in Z2, denn wenn ich z.B.x=3 einsetze, sind die Funktionswerte nicht gleich.

Das habe ich auch nicht behauptet. Aber aus deinen bisherigen Formulierungen kann man eben nicht verstehen, wie du "gleiche Funktionswerte" meinst.

2020-09-16 14:04 - Gantz in Beitrag No. 13 schreibt:
Mich interessiert aber n u r der unendliche Bereich Z und nicht ein endlicher Bereich wie Z2.

Die Frage wurde in Beitrag #4 bereits beantwortet.


Gruß, Diophant



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-09-16


2020-09-16 12:21 - helmetzer schreibt:
Gilt das auch, wenn es Nullteiler gibt?

Nein, betrachte etwa $\IF_2^{\IN}$ und das Polynom $X^2-X$.



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Gantz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16


Hallo Diophant,

unter "Funktionswert" verstehe ich die Summe über sämtliche Glieder der Polynomfunktion für einen bestimmten Wert der unabhängigen Variablen x.

Aber nochmal an alle die Frage:

Findet sich den nirgendwo ein Beweis für folgendes Theorem: "Zwei Polynomfunktionen mit unterschiedlichen Koeffizienten können in Z für den gleichen Wert der unabhängigen Variablen niemals den gleichen Funktionswert haben."

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-09-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-09-16 14:23 - Gantz in Beitrag No. 16 schreibt:
Aber nochmal an alle die Frage:

Findet sich den nirgendwo ein Beweis für folgendes Theorem: "Zwei Polynomfunktionen mit unterschiedlichen Koeffizienten können in Z für den gleichen Wert der unabhängigen Variablen niemals den gleichen Funktionswert haben."

Nein, weil das Unsinn ist. Denn niemals bedeutet dass es keine ganze Zahl \(x\) mit \(p(x)=q(x)\) gibt. Das kann man aber nicht generell auschließen (es entspricht in \(\IR\) Schnittpunkten mit ganzzahligen Koordinaten). Siehe dazu meine beiden Beispielfunktionen aus #14.

Nach wie vor wird aber nicht klar, was du eigentlich meinst.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-09-17


2020-09-16 14:23 - Gantz in Beitrag No. 16 schreibt:
Hallo Diophant,

unter "Funktionswert" verstehe ich die Summe über sämtliche Glieder der Polynomfunktion für einen bestimmten Wert der unabhängigen Variablen x.

Aber nochmal an alle die Frage:

Findet sich den nirgendwo ein Beweis für folgendes Theorem: "Zwei Polynomfunktionen mit unterschiedlichen Koeffizienten können in Z für den gleichen Wert der unabhängigen Variablen niemals den gleichen Funktionswert haben."

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
Offenbar sind diejenigen, die geantwortet haben, mich eingeschlossen, zu doof, deine Frage überhaupt zu verstehen.



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Gantz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-18


Hallo Alle,
vielleicht bin ich nicht in der Lage, die Antworten richtig zu verstehen.

Deshalb noch mal meine Frage: Kann man den Satz über die Gleichheit von zwei Polynomfunktionen p(x) und q(x) im unendlichen Bereich Z, dass

p(x)-q(x)immer gleich Null ist, wenn alle Koeffizienten gleich sind,

dahingehend umkehren, dass

p(x)-q(x) niemals gleich Null sein kann, wenn a l l e Koeffizienten nicht gleich sind?

Und gibt es dafür irgendwo einen Beweis, auf den man sich berufen kann?

Danke für eure Geduld mit mir.




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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-09-18


Da zwei Polynome immer unendlich viele Null-Koeffizienten gemeinsam haben, kann es gar nicht passieren, dass sie in allen Koeffizienten nicht übereinstimmen.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2020-09-18


Hallo,

wie oft denn noch?

2020-09-18 10:57 - Gantz in Beitrag No. 19 schreibt:
Kann man den Satz über die Gleichheit von zwei Polynomfunktionen p(x) und q(x) im unendlichen Bereich Z, dass

p(x)-q(x)immer gleich Null ist, wenn alle Koeffizienten gleich sind,

dahingehend umkehren, dass

p(x)-q(x) niemals gleich Null sein kann, wenn a l l e Koeffizienten nicht gleich sind?

Nein, das kann man nicht. Ein Gegenbeispiel steht in Beitrag #12.

Die Formulierung wenn alle Koeffizienten nicht gleich sind ist missverständlich. Du meinst vermutlich damit, dass es kein gleiches Koeffizientenpaar für gleiche Potenzen geben darf. Aber wie gesagt: dafür habe ich dir in #12 ein Gegenbeispiel gegeben.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]



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Gantz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-18


Bei den Polynomen, die ich betrachte, sind aber wirklich die Koeffizienten für gleiche Exponenten alle unterschiedlich. Außerdem enthalten meine Polynome nur Glieder mit Exponenten von 0 bis n, so dass ausser einem Glied keine weiteren Glieder mit n=0 auftreten, also nicht unendlich viele.
Das Beispiel in Antwort 12 trifft also auch nicht zu.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-09-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-09-18 11:41 - Gantz in Beitrag No. 22 schreibt:
Das Beispiel in Antwort 12 trifft also auch nicht zu.

Ich verstehe zwar nicht, weshalb das für dich nicht zutrifft. Aber würdest du folgendes Gegenbeispiel akzeptieren:

\[\ba
p(x)&=x^3+6x^2+11x+6\\
\\
q(x)&=2x^3+13x^2+22x+8
\ea\]
(Betrachte die Stelle \(x=-2)\)

?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-09-18


Hallo,

p-q hat mindestens dann eine Nullstelle, wenn der grad ungerade ist (zwischenwertsatz). Ich verstehe zwar deine Anforderung an p und q auch nicht wirklich, bin mir aber sicher, dass es Polynome gibt die deine Anforderungen erfüllen und sodass p-q ungeraden grad besitzt.
Liege ich richtig?

Grüße Creasy

Edit: hab übersehen dass du hier über Den ganzen zahlen arbeitest, das ist also hier ein irrelevanter Beitrag


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]


-----------------
Smile (:



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-09-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Sehe ich es richtig, dass du folgende Situation hast:

Seien $f(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k$ und $g(x)=\sum_{k=0}^n b_kx^k$ zwei Polynomfunktionen vom Grad $n$ mit ganzzahligen Koeffizienten $a_k, b_k$, sodass $a_k\neq b_k$ für alle $k=0,\dots,n$.

Deine Frage ist: Kann es eine ganze Zahl $x$ geben, sodass $f(x)=g(x)$?

Wenn ja, dann kannst du diese Frage sofort übersetzen in die Frage: Gibt es eine Polynomfunktion $h(x)=\sum_{k=0}^n c_k x^k$ von Grad $n$ mit ganzzahligen Koeffizienten $c_k\neq0$ für alle $k=0,\dots,n$, die eine ganzzahlige Nullstelle besitzt?
Dafür musst du die Gleichung $f(x)=g(x)$ einfach zu $f(x)-g(x)=0$ umformen und bemerken, dass jede Polynomfunktion von der eben genannten Form $h(x)$ als eine solche Differenz darstellbar ist.

Und dann lautet die Antwort: Ja. Die Polynomfunktion $f(x)=(x-1)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}$ ist ein Beispiel.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Hallo,

meine Differenz-Polynomfunktion h(x) sieht aber etwas anders aus und ist kein reines Binom. Z.B. für n=3 habe ich

$h(x)= x^3-3*3x^2+3*5x-9=0$

Für ein grades ganzzahliges x z.B. ist der Funktionswert ungrade und kann nicht Null sein, denn Null ist eine grade Zahl. Für ungrades x kann man das auch zeigen.

Die Binomialkoeffizienten von $h(x)=(x-1)^n$ für beliebigen Grad n sind bei mir immer mit $(p^k+q^k)$ mit k von 1 bis n und q<p multipliziert, und meine Frage lautet  in dieser Form, ob h(x) im Bereich der ganzen Zahlen niemals Null werden kann.




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Gantz
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Hallo Vercassivelaunos,

meine Differenzfunktion ist kein reines Binom sondern sieht so aus:

$h(x)=x^n+\sum_{k=1}^n (-1)^k\binom{n}{k}(p^k+q^k)x^(n-k)$,

wobei immer q<p ist. Mein Problem reduziert sich also auf die Frage, ob diese Funktion für ganzzahlige x und beliebiges n jemals Null sein kann.




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Vercassivelaunos
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Dann ist mein Beispiel der Spezialfall $q=0,p=1$. Die Existenz einer Nullstelle kann also nicht allgemein ausgeschlossen werden.
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Gantz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-19


DeshalbHallo Vercassivelaunos,

das stimmt allerdings. Um weitere rationale Lösungen auszuschliessen, habe ich versucht nachzuweisen, dass die Nullstellen der Gleichung immer irrational bzw. komplex sind. Ich weiss aber nicht, ob mein Beweis stimmt. Deshalb wollte ich den Beweis über die Umkehrung des Satzes von der Gleichheit zweier Polynome führen.




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