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Mathematik » Zahlentheorie » arithmetisch <-> geometrisch
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Schule arithmetisch <-> geometrisch
Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-17


Mich treibt folgende Frage um:

Gibt es geometrische Folgen --- oder ist eine geometrische Folge ausschließlich zusammengesetzter ung. Zahlen (ZZ) möglich, deren Glieder nur aus FastPZ 3. und höherer Ordnung bestehen.

ung. Zahlen bedeutet, die Abstände müssen wachsend immer gerade sein. Sind sie immer gerade, erwischt man immer auch PZ-Endungen. Wenn man PZ-Endungen in unendlichen arithmetischen Folgen geradzahligen Abstandes besucht, erwischt man immer auch PZ. Ergo ist auch eine unendliche geometrische Folge UZ undenkbar.....

Gibt es denn nicht so einen Grundsatz: Alles, was bei unendlichen Folgen im arithmetischen Bereich passiert, passiert auch im geometrischen Bereich ....


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Das Schwierige ist nicht die Mathematik. Schwierig ist es zu formulieren, daß man selber versteht, was man sieht und die anderen auch!



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-17


Ja, es gibt unendliche geometrische Reihen ganzer Zahlen: z.B. $3^0, 3^1, 3^2,\dots$.
Offensichtlich muss für eine _unendliche_ geometrische Reihe ganzer Zahlen der Faktor zwischen den Folgegliedern ganzzahlig sein. Damit ist klar, dass die Zahl der Primteiler der Folgeglieder immer weiter zunimmt.

Beantwortet das Deine Fragen?



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17


2020-09-17 10:04 - Kitaktus in Beitrag No. 1 schreibt:
Ja, es gibt unendliche geometrische Reihen ganzer Zahlen: z.B. $3^0, 3^1, 3^2,\dots$.
Offensichtlich muss für eine _unendliche_ geometrische Reihe ganzer Zahlen der Faktor zwischen den Folgegliedern ganzzahlig sein. Damit ist klar, dass die Zahl der Primteiler der Folgeglieder immer weiter zunimmt.

Beantwortet das Deine Fragen?

Nein, weil ich diesen trivialen Fall eigentlich ausgeschlossen wissen wollte, hatte es nur - wie üblich - nicht erwähnt...


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-17


Jede unendliche geometrische Folge natürlicher Zahlen mit nichttrivialem Faktor muss aus offensichtlichen Gründen an Primfaktoren zunehmen.

Multipliziert man wiederholt mit einer natürlichen Zahl, kommen in jedem Schritt deren Primfaktoren hinzu und alle bereits vorhanden Primfaktoren bleiben erhalten.
Multipliziert man mit einem Bruch, fallen die Primfaktoren des Nenners heraus und die Folge wird schließlich ebenfalls gebrochen bzw. bricht nach endlich vielen natürlichen Gliedern ab.

Edit: Falls du tatsächlich geometrische Reihen(!) meinst, wird es wesentlich interessanter.


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17


2020-09-17 11:04 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 3 schreibt:
Edit: Falls du tatsächlich geometrische Reihen(!) meinst, wird es wesentlich interessanter.
Hallo Einfältiger...

Bei mir geht es um negative geometrische Reihen. Ich hab ein Programm geschrieben, welches die Anzahl der Primfaktoren aller Glieder so einer (endlichen) negativen geometrischen Reihe summiert (Ich sage dazu Produktkaskade), weil ich dachte, es gäbe eine Grenze bei 2 n, aber dem ist nicht so.



In so einer Produktkaskade befinden sich mit steigendem N immer mehr SemiPZ. Kann man als Beweis nicht argumentieren, daß so eine Produktkaskade unmöglich ohne semiPZ existieren kann, weil sonst die stetige Entwicklung der Anzahl der Primfaktoren plötzlich für ein n unterbrochen sein mußte ....

Damit Du weißt, worum es geht, poste ich mal den Code. Wenn Du verstehen willst, was das Programm macht, mußt Du die beiden Prints entsichern und Grenze auf 100 runtersetzen oder so.
Python
  1. import matplotlib.pyplot as plt
  2. import numpy as np
  3. from sympy.ntheory import isprime
  4. from sympy import sieve
  5. from sympy import primepi
  6. from math import sqrt
  7.  
  8.  
  9. pf_liste=[]
  10. vor_zahl=0
  11. ent_fernung=0
  12. prüf_zahl=0
  13. #Zahl=39# (nur ungerade zahl)
  14. Produkt=0
  15. Factor1=0
  16. Factor2=0
  17. Beginn=0
  18. Grenze=1000
  19. ges_PF=0
  20. nr=0
  21.  
  22.  
  23. def liste_der_primteiler(x):
  24. teiler=[]
  25. while x%2==0:
  26. teiler.append(2)
  27. x=x//2
  28. y=3
  29. while y*y<=x:
  30. if x%y==0 and isprime(y):
  31. teiler.append(y)
  32. x=x//y
  33. else:
  34. y+=2
  35. teiler.append(x)
  36. return teiler
  37.  
  38. y0=[]
  39. y1=[]
  40. y2=[]
  41.  
  42.  
  43.  
  44. x=np.arange(10,Grenze,1)
  45. for Zahl in range (10,Grenze,1):
  46. ges_PF=0
  47. nr=0
  48. if Zahl%2==0:
  49. Beginn=1
  50. else:
  51. Beginn=2
  52.  
  53. for i in range (Beginn,Zahl,2):
  54. Factor1=Zahl-i
  55. Factor2=Zahl+i
  56. Produkt=Factor1*Factor2
  57. pf_liste=liste_der_primteiler(Produkt)
  58. ent_fernung=vor_zahl-Produkt
  59. prüf_zahl=len(pf_liste)
  60. ges_PF=ges_PF+len(pf_liste)
  61. #print(i,Beginn,Factor1,Factor2,Produkt,len(pf_liste),ges_PF,liste_der_primteiler(Produkt),ent_fernung)
  62. nr=nr+1
  63. vor_zahl=Produkt
  64. pf_liste.clear()
  65. # print(Zahl,"=ungen",nr,Zahl*2,"- Anzahl PF", ges_PF,"=", (Zahl*2)-ges_PF)
  66.  
  67. y0.append(Zahl)
  68. y1.append(Zahl*2)
  69. y2.append(ges_PF)
  70.  
  71.  
  72. plt.figure(figsize=(16,8))
  73. plt.xlabel('n')
  74. plt.ylabel('Anzahl Primfaktoren in Produktkaskade')
  75. plt.title('Anzahl PF, n (black) 2n = (rot), Anzahl PF (grün)')
  76.  
  77. plt.axis([0, Grenze, 0, 2000])
  78. plt.grid(True)
  79. #plt.plot(x,y)
  80. plt.plot(x,y0,color="black")
  81. plt.plot(x,y1,color="red")
  82. plt.plot(x,y2,color="green")
  83.  
  84. plt.show()
 



 


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-19


Du scheinst hier Produkte der Form $(2n-1)(2n+1)$ zu faktorisieren?!?
Das hätte allerdings weder mit geometrischen Folgen noch Reihen etwas zu tun, weshalb ich den Zusammenhang nicht verstehe.


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2020-09-19 09:54 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 5 schreibt:
Du scheinst hier Produkte der Form $(2n-1)(2n+1)$ zu faktorisieren?!?
Das hätte allerdings weder mit geometrischen Folgen noch Reihen etwas zu tun, weshalb ich den Zusammenhang nicht verstehe.

Damit eine Progression geometrisch genannt werden kann, müssen die Glieder mit gleichmäßig wachsenden Abständen auseinander liegen. Die Abstände der einzelnen Produkte liegen alle n*8 auseinander. Sind das denn keine geometrischen Folgen?


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-19


Zitat Wikipedia:

Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge.


Hat deine Folge eine dieser Eigenschaften?
Nein. => Also ist es weder eine geometrische Folge noch eine geometrische Reihe.

Den Begriff "geometrische Progression" kenne ich so nicht.
Der englische Begriff "geometric progression" wäre die geometrische Folge, die du ja offenbar nicht meinst.


Was meinst du:

Am einfachsten wäre es wohl, von den Vorgängern gerader Quadratzahlen oder eben Zahlen der Form $(2n-1)(2n+1)=4n^2-1$ zu sprechen.

Warum man erst das Produkt bildet und dieses faktorisiert, statt einfach die Faktoren zu faktorisieren, weiß vermutlich auch kein Außenstehender.


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