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Mathematik » Numerik & Optimierung » KKT-Bedingungen zur dualen Formulierung einer SVM
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Universität/Hochschule J KKT-Bedingungen zur dualen Formulierung einer SVM
mbInfoStudent
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-20


Wir haben das folgende duale Optimierungsproblem:
$$\min_v q(v) := g^Tv + \frac{1}{2}v^TQv \text{ } s.t. 0\leq v \leq C1, \text{ } y^Tv = \Delta $$ wobei $Q\in\mathbb{R}^{n\times n} $ symmetrisch, $\Delta \in \mathbb{R}$, $C>0$, $y\in \{-1,1\}^n$.
Nun werden im Skript die folgende KKT-Bedingungen aufgelistet:
$$v\geq 0, C-v\geq 0, y^Tv = \Delta$$ $$\nabla q(v) + by = \lambda - \mu$$ $$\lambda_i v_i = 0, \mu_i(C-v_i) = 0, \lambda_i \geq 0, \mu_i \geq 0, i\in[n]$$ Die letzten zwei Zeilen sollen die "stationary condition" und Komplementaritätsbedigung sein.

$\textbf{Meine Frage wäre die folgende:}$
Mir ist nicht klar, wie die zweite aufgebaut ist. Denn für den stationary Condition muss ja allgemein gelten:
$$\nabla f(x) + \Sigma_{i=1}^m \mu_i \nabla g_i(x) + \Sigma_{i=1}^l \lambda_i \nabla h_i(x) = 0$$ was ja in unserem Fall wäre:
$$\nabla q(x) + \mu(C1 - v) + \lambda^Tv + b(y^Tv - \Delta) = 0$$ Aber $b(y^Tv - \Delta)$ ist nicht einmal in der Gleichung drin und der Rest weicht auch ab.



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mbInfoStudent
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-21


Hallo zusammen, kann mir jemand weiterhelfen oder fehlt was in der Frage?



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mbInfoStudent
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-28 20:28


Ich habe die Antwort raus:
Es gelten die Nebenbedingungen:
$$ v\geq 0,  C-v \geq 0, y^Tv = \Delta$$
Somit wäre die Lagrange Funktion:
$$L = q(v) + \mu v + \lambda(C-v) + b(y^Tv - \Delta)$$
Dann gilt für einen KKT-Punkt  $x^*$ unter anderem der Stationary Condition:
$$\nabla_v L(v,\lambda,\mu, b) = 0$$ was äquivalent ist zu:
$$\nabla q(v) + \mu - \lambda + by =0 \Leftrightarrow \nabla q(v) + by = \lambda -\mu$$



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