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Universität/Hochschule Beschränktheit einer Folge zeigen
MikaRute
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-21


Hallo an alle,

Ich bin gerade dabei zu verstehen, auf welche Weise sich das Zeigen der Beschränktheit einer Folge am Besten zeigen lässt und wie man explizit bei der VI vorgehen sollte.
Mein Ansatz war bisher immer einen Beweis über VI durchzuführen. Hierbei habe ich in meinem IA eine obere Schranke approximiert. Diese habe ich dann im IS wieder verwendet. Hierbei stelle ich mir die Frage, ob es überhaupt legitim ist eine obere Schranke zu schätzen und diese dann zu "beweisen".
Falls dies nicht geht, welche anderen Möglichkeiten würdet ihr vorschlagen.

Viele Grüße



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-21


Hallo,

da es ja nur um eine obere bzw. untere Schranke geht, nicht um die kleinste bzw. die größte, musst du halt einfach korrekt "approximieren", dann kann man das so machen.

Grundsätzlich würde ich mich bei solchen Problemen nicht auf "die eine" Lösungsmethode verlassen. Nur weil etwas in 20 Übungsaufgaben hingehauen hat, heißt das noch lange nicht, dass es jedesmal zum Ziel führt.

Um diese Frage zielführend beleuchten zu können, wäre es meiner Meinung nach sinnvoll, wenn du uns Beipiele gibst, die man dann zusammen betrachten könnte.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]



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MikaRute
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-21


Alles klar. Ich dachte es gäbe ein "Universalrezept".
Mir ging es um die rekursiv definierte Folge:

a_0=3 und a_n+1=sqrt(a_n+12)

Hier habe ich angenommen, dass 12 eine obere Schranke sei. Dies habe ich dann mit einem Induktionsbeweis bewiesen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-21


Hallo,

ja das funktioniert. Aber wie bist du ausgerechnet auf die 12 gekommen?

Die kleinste obere Schranke ist hier gleichzeitig der Grenzwert, nämlich 4. Auf diesen Wert kann man als Vermutung auch kommen, indem man einige Folgenglieder ausrechnet.

Letztendlich ist es aber gleich: die 12 tut es genausogut wie die 4.

Dann bräuchtest du hier jetzt noch den Nachweis der Monotonie.


Gruß, Diophant



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MikaRute
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-21


Ich habe mir die Folge angeschaut und habe es mit 12 ausprobiert, weil 12 in der Folge vorgekommen ist. Dies war sicher nur ein Zufall, aber das war um ehrlich zu sein mein Gedankengang hierbei.
Klüger ist es dann wohl eine Grenzwertuntersuchung als erstes durchzuführen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-09-21 13:41 - MikaRute in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich habe mir die Folge angeschaut und habe es mit 12 ausprobiert, weil 12 in der Folge vorgekommen ist. Dies war sicher nur ein Zufall, aber das war um ehrlich zu sein mein Gedankengang hierbei.
Klüger ist es dann wohl eine Grenzwertuntersuchung als erstes durchzuführen.

auch das gilt nicht immer. Solche rekursiv definierten Folgen können durchaus auch um ihren Grenzwert herum oszillieren. Oder überhaupt nicht konvergent sein.

Mir ging es hier nur darum, dass man durch Ausrechnen einiger Folgenglieder hier in diesem speziellen Fall schnell zu den beiden folgenden Vermutungen kommen kann:

- die Folge ist monoton wachsend
- die Folge konvergiert gegen \(a=4\)

Nachweisen muss man das alles natürlich auf dem gewohnten Weg. Selbst wenn du vorher einen Kandidat für einen Grenzwert berechnest: du weißt ja nicht, ob es einer ist, solange du die Konvergenz nicht nachgewiesen hast.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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