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Schule Skripte durcharbeiten
MINT20Fan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-21


Hallo zusammen,
ich bin in der 9 Klasse und möchte mich für Mathewettbewerbe vorbereiten.
Natürlich ist es am Wichtigsten sehr viele Aufgaben zu bearbeiten.
Aber hier können bereits Sätze , die man nicht in der Schule lernt,( z.B. zur Geometrie ) sehr hilfreich sein.
Diese sind meist schon in Skripten enthalten , die es im Internet gibt.
Doch als 9 Klässler habe ich keine Erfahrung im Umgang mit diesen.

Hier folgt nun meine Frage :
Hat jemand Anfängertipps bzw. Allgemein Tipps zum Durcharbeiten von Skripten?


Viele Grüße
MINT20Fan



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-21


Hallo,

vielleicht solltest du anstelle von Skripten lieber zu Lehrbüchern greifen.

Diese sind nämlich oft ausführlicher und in sich abgeschlossen.
Man findet ja auch nicht immer zu jedem Skript die dazu gestellten Übungsaufgaben.

Ich arbeite ein Skript/Lehrbuch so durch.

Bleistift und Papier bereit.
Ich lese eine Satz. Nun probiere ich erstmal selber einen Beweisansatz zu finden. Es ist oft recht schnell klar, ob der Beweis einfach, oder schwer ist.

Diese Beweismethode ist dabei sehr hilfreich:

Schaffe ich den Beweis ohne Probleme, so schreibe ich mir hin, dass dieser "trivial" ist. Das bedeutet für mich, dass ich den Beweis ohne große Mühe geschafft habe, und es daher vermutlich nochmal schaffen würde.

Schaffe ich den Beweis nicht, so lese ich erstmal im Beweis.
Dann finde ich heraus, ob meine ursprüngliche Idee richtig war, oder nicht.
So finde ich dann die Idee, die mir eventuell gefehlt hat.
Das merke ich mir.
Nun probiere ich ab hier den Beweis erneut selbst, und gehe dann so weiter vor.
Komme ich nicht weiter, dann "spicke" ich. Die Schritte die mir dabei fehlen fasse ich dann später zusammen, in einer Art Beweisskizze.

Anstelle den gesamten Beweis zu notieren, notiere ich mir in meiner Beschäftigung mit dem Skript also nur die entscheidenen Ideen.

Ein Beweis besteht nämlich oft aus diesen intelligenten Ideen und Routinerechnungen, oder Methoden, die man kann.
Wenn ich dann diese Ideen verinnerlicht habe, so kann man den Beweis dann eigenständig selber führen.
Usw.

Wichtig dabei ist es für mich, dass ich wiederhole.
Kann ich den Beweis einen Tag später nun selber führen?
Komme ich mit meinen Notizen weiter, oder waren sie doch nicht ausführlich genug?
Indem Fall kann man sie dann am nächsten Tag doch erweitern.

Gerade das Wiederholen ist für mich entscheidend.
Es entlarvt auch oft, dass ich doch etwas zu knapp war...

So lernst du dann.

Ich kann dir das Buch von Beutelspacher empfehlen.
Schätzungsweise 90% der Beweise in diesem Buch lassen sich nach der im Artikel von Triceratops erläuterten Methode führen.

Ein Beispiel wie das nun also aussehen könnte.

Der erste Satz im Buch ist folgender:

Satz über Äquivalenzklassen

Äquivalente Elemente haben dieselben Äquivalenzklassen; das heißt

$x\sim y\Rightarrow A(x)=A(y)$


Um den Beweis führen zu können müsstest du jetzt die dir unbekannten Begriffe und Notationen nachschlagen.
Das könnte etwa sein: Äquivalenzklasse, was $x\sim y$ bedeutet, und was $A(x)$ bzw. $A(y)$ ist.

Hast du das zusammengetragen, so würdest du dir jetzt im nächsten Schritt klar machen, wie ein Beweis aussehen sollte.

Entweder kommst du darauf, oder nicht.
Kommst du nicht darauf, so kannst du die erste Zeile im Beweis lesen.

Die sagt dann folgendes:

"Sei $x\sim y$. Dann ist zu zeigen $A(x)=A(y)$. Dies beweisen wir dadurch, dass wir sowohl $A(x)\subseteq A(y)$ als auch $A(y)\subseteq A(x)$ zeigen."

Eventuell musst du nun klären, was $A(x)\subseteq A(y)$ bedeutet.
Oder du erinnerst dich "Auch klar, hier muss ja nur eine Mengengleichheit gezeigt werden. Was dafür zutun ist, weiß ich."

Nun gelingt dir vielleicht der Beweis.
Korrigieren kannst du dich dann mit der Musterlösung, die ja im Buch steht.
Hattest du recht? Hat dir noch etwas gefehlt?
Alle Voraussetzungen beachtet?

In deiner Beweisskizze könnte dann etwa stehen:

"Hier ist eine Mengengleichheit zu zeigen."

Oder: Zeige $A(x)\subseteq A(y)$ und $A(y)\subseteq A(x)$.
Wie wird benutzt, dass wir eine Äquivalenzrelation vorliegen haben?


Hast du diesen Beweis heute nicht geschafft, so probiere es später nochmal.
Erinnerst du dich?
Musst du wieder spicken? Kommst du mit deinen Notizen weiter, oder doch lieber erweitern?

Usw.

Das machst du dann mit jedem Beweis im Buch, oder Skript. :)
Wobei nicht jeder Beweis immer wichtig ist.
Wenn du zum Beispiel lineare Algebra lernst, und dann irgendwann zeigen sollst, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, so wäre es nicht so schlimm, den Beweis (mit dem Lemma von Zorn) erstmal zu überspringen, da er im Rahmen von dem was man sonst so macht eher unwichtig ist.


Hier ist es dann wichtig eine goldene Mitte zufinden.
Jeder lernt anders.
Wie viel Zeit möchte ich investieren, bevor ich mir den Beweis im Buch ansehe.
Manchmal ist man enttäuscht, dass man zu früh geguckt hat, weil man sich dann doch sicher ist, dass man es selber geschafft hätte.
Manchmal merkt man, dass man völlig auf dem falschen Dampfer war, und der Beweis doch schwerer ist, als angenommen.

Das ist aber natürlich nicht schlimm.
Hauptsache man betrügt sich nicht selbst.

Bei Skripten und den Hausaufgaben in der Uni ist es auch oft so, dass die Übungsaufgaben schwieriger sind, als die Beweise im Skript.

Deshalb ist eine Nacharbeit sehr wichtig.
Die wichtigsten Ideen (die oft auch immer wieder kommen, da typisch für das Gebiet) zusammentragen, und dann lernen anzuwenden.
In den Übungen muss man dies dann oft noch erweitern.

Wenn man die Beweise im Skript nicht nachvollzogen hat, so ist es dann sehr schwer auf die Beweise zu kommen.
Denn wie will ich einen schwereren Beweis führen, wenn ich die einfachere Version schon nicht verstanden habe.

Natürlich gibt es auch einfache Übungsaufgaben. Keine Frage.


Der Artikel von Triceratops heißt "Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann".
Das ist eine ganz entscheidene Methode, die man lernen muss.
Das heißt aber nicht, dass es "einfach" ist. Es darf ruhig schwer sein. Gerade am Anfang, und davon darf man sich nicht abschrecken lassen.
Man wird nicht alles sofort verstehen. Manchmal versteht man einen "einfachen" Beweis dann doch erst nach ein paar Tagen, Wochen, oder Monaten.
Aber irgendwann stellt sich dann doch die Erkenntnis ein, dass das alles recht leicht ist.

Schwierigkeiten entstehen dadurch, dass man oft sich nicht die Zeit nimmt die Definitionen zu verdauen.
Es werden zu wenige "Trivialitäten" bewiesen.
Also Beweise, die du ohne Mühe gefunden hast.

Zeigt es ja, dass du was gelernt hast. Dass du eine Definition verstanden hast, und Erfahrung mit ihr gesammelt hast.
So baut man auch ein gewisses mathematisches Selbstbewusstsein auf.
Lernt seinen Argumenten zu trauen, oder diese zu korrigieren.

Also wie gesagt. Meine Buchempfehlung ist hier immer die Lineare Algebra von Beutelspacher.

Nicht, weil ich es für ein perfektes Buch halte, sondern weil es es Einsteigern verhältnismäßig leicht macht.


Ob es dir bei Wettbewerbsaufgaben hilft, sei mal dahingestellt.
Diese erfordern ja oft andere Methoden, oder eine ganz andere Techniken.
Aber mit dem Stoff im Studium früh zu beginnen ist nie verkehrt!

Für dich könnte ebenfalls interessant sein, ein sog. Schülerstudium.
Dazu kannst du dich vielleicht eigentständig erkundigen, ob es in Frage kommt.
So könntest du schon als Schüler an die Uni gehen, ein paar Kurse besuchen und aus deinem Hobby einen Nutzen gewinnen.

Nur ein Gedankenanstoß.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-21


Huhu MINT20Fan,

2020-09-21 15:05 - MINT20Fan im Themenstart schreibt:
Diese sind meist schon in Skripten enthalten , die es im Internet gibt.

könntest du mal verlinken? Mit einem Skript vor Augen könnte man eventuell besser Tipps geben.

Gruß,

Küstenkind



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MINT20Fan
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-21


Zunächst wollte ich mit den ziemlich bekannten Skripten der Schweizer Mathematik Olympiade anfangen

Hier wollte ich mich natürlich zunächst von den leichteren hocharbeiten



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-21


Hi MINT20Fan,

das schaut doch mal gut und geeignet aus.

Generell gilt für Skripte und Lehrbücher das, was PrinzessinEinhorn die Tage irgendwo einmal treffend geschrieben hat: es sind keine Romane. 😉

Will sagen: man muss solche Texte sehr gründlich durchlesen bzw. studieren. Da muss man auch mal einen einzelnen Satz drei-, viermal lesen. Niemals sollte man über unverstandene Stellen hinweglesen. Das ist (nach meiner Erfahrung) der Anfang vom Scheitern beim Durcharbeiten eines mathematischen Lehrwerks. Also an der Stelle, an der man das zwangsläufig tun muss, kann man eigentlich erst einmal aufgeben (wie die Bergfahrer bei der Tour de France, wenn sie aus dem Sattel gehen müssen 😉 ).

Arbeite doch damit einmal und frage ungeniert und hemmungslos Begriffe oder Schreibweisen/Symbole hier im Forum nach, wo du etwas nicht kennst.


Gruß, Diophant



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Scynja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-21


Darf man die Sätze überhaupt verwenden? Also, wenn man jetzt einen speziellen Satz findet, der ein Problem löst, darf man ihn dann in den Aufgaben nutzen, ohne ihn zu beweisen oder muss man ihn beweisen? Bis zur neunten Klasse hat man ja nicht allzu viele Sätze gelernt.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-21


2020-09-21 16:47 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Aber mit dem Stoff im Studium früh zu beginnen ist nie verkehrt!

Doch, es kann schon verkehrt sein - siehe Calculus Trap.

Ich denke, die Literatur, die ich hier vorgeschlagen habe, sollte erstmal ausreichen und auch viel Spaß machen (was das Wichtigste bei Schülern ist). Dabei sind z.B. die Skripts von den Schweizern, die MINT20Fan anspricht, diese sind sehr gut und teilweise besser als viele Lehrbücher.

Der Artikel von Triceratops ist sehr gut, aber ich denke, dass MINT20Fan die meisten Begriffe dort noch nicht bekannt sind.

(Dabei rate ich nicht ab, nie mal Unimathematik anzuschauen, sondern empfehle es auch irgendwann, aber in der 9. Klasse muss es noch nicht zwingend sein.)

2020-09-21 17:16 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Niemals sollte man über unverstandene Stellen hinweglesen.

Darüber kann man streiten, ich mache das oft. (Aber vielleicht ist meine Lernweise auch "falsch".) Wenn man gerade mit Mathematik beginnt, stimmt das aber wahrscheinlich. :-)

Später sollte man aber meiner Meinung nach optimalerweise ein Gefühl dafür bekommen, welche Stellen überhaupt wichtig sind und an welchen Stellen nur technische Sachen gemacht werden und man ruhig drüberlesen kann, ohne es komplett verstanden/ausgearbeitet zu haben.

Mein Tipp ist - wie so oft (und wie ich es dir auch schon gesagt habe) - nur am Skript zu arbeiten, wenn du Spaß daran hast. In Skripts/Büchern zur Wettbewerbsmathematik werden auch oft Lösungen von Wettbewerbsaufgaben mit Motivation vorgestellt, um bestimmte Methoden zu präsentieren/vorzustellen.
Ich persönlich habe damals meistens versucht diese Aufgabe zuerst selber zu lösen, es liegt aber an dir, ob du das auch machst. Der Nachteil ist, dass es viel Zeit kostet. Entsprechend kenne ich auch andere erfolgreiche(re) Wettbewerbsteilnehmer, die den Text sofort gelesen haben.

Das Wichtigste für mich ist aber Folgendes: Versuchen zu verstehen, wie man selber auf die Idee gekommen sein könnte. Nur so kann man einen Beweis/eine Idee wirklich verinnerlichen.

Beispielsweise wird meinen Erinnerungen nach in einem der Skripts die bekannte (und extrem nützliche) Faktorisierung $$x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1}-x^{n-2}+-\dots-x+1)$$ eingeführt. Anstatt es einfach hinzunehmen und in Aufgaben zu verwenden, sollte man sich fragen: Wie hätte ich auf so eine Faktorisierung kommen können?

Wenn man sich damit beschäftigt, kommt man (möglicherweise) auf mehrere Methoden:
- Wir sehen, dass $1$ eine Nullstelle von $x^n - 1$ ist, d.h. $x-1$ ist ein Faktor von $x^n - 1$. Mit Polynomdivision kann man dann die Faktorisierung erhalten.
- Wir verwenden die endliche geometrische Reihe.
Wenn wir das verstanden haben, werden wir diese Faktorisierung immer wieder selber herleiten können.

Kurze Anmerkung: Leider scheinen viele Studierende in den ersten Jahren diese Faktorisierung nicht zu kennen. Das merkt man schon auf dem MP, wo öfter Fragen kommen, die mit dieser Faktorisierung sofort beantwortet werden können.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Kezer
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2020-09-21 18:02 - Scynja in Beitrag No. 5 schreibt:
Darf man die Sätze überhaupt verwenden? Also, wenn man jetzt einen speziellen Satz findet, der ein Problem löst, darf man ihn dann in den Aufgaben nutzen, ohne ihn zu beweisen oder muss man ihn beweisen? Bis zur neunten Klasse hat man ja nicht allzu viele Sätze gelernt.

Das kommt auf den Wettbewerb an, aber die Faustregel ist, dass jeder Satz mit Name oder einfach jeder hinreichend bekannte Satz verwendet werden darf. Ergebnisse aus den Schweizer Skripts kann man im Normalfall immer verwenden.

(Da die Aufgabensteller durchaus die geläufigen Methoden kennen, ist es meistens nicht möglich eine Aufgabe direkt aus einem bekannten Satz zu folgern.)


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AlphaSigma
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2020-09-21 16:47 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
...
Ich kann dir das Buch von Beutelspacher empfehlen.
Schätzungsweise 90% der Beweise in diesem Buch lassen sich nach der im Artikel von Triceratops erläuterten Methode führen.
...
Also wie gesagt. Meine Buchempfehlung ist hier immer die Lineare Algebra von Beutelspacher.

Nicht, weil ich es für ein perfektes Buch halte, sondern weil es es Einsteigern verhältnismäßig leicht macht.
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Didaktisch hervoragend finde ich auch das Skript Einführungskurs Mathematik von Prof. Dr. Michael Junk, Universität Konstanz. In den Kapiteln 3 bis 6 wird das Beweisen sehr gut erklärt und an Beispielen vorgeführt.

Der Link ist auch in den Mathe-Links des Matheplaneten aufgeführt:
Grundlagen  --> Einführungskurs (Junk/Schnürer)



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