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Funktionentheorie » Holomorphie » analytische Funktionen
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Universität/Hochschule J analytische Funktionen
weini4820
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-24


Hallo!

Ich bin gerade beim Thema reell analytische Funktionen und bin auf der Suche nach Beispielen und Gegenbeispielen davon.

Als Beispiele hab ich schon exp, log sowie alle trigonometrischen Funktionen. Dann habe ich noch die Funktion 1/(1-x), wobei ich hier noch nicht ganz verstehe, wie ich da die Taylorreihe berechne. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Als Gegenbeispiel habe ich bis jetzt leider nur das bekannteste Beispiel gefunden, e^{-1/x^2}. Aber da muss es sicherlich auch noch andere geben. Hat da noch jemand was für mich?


Danke schonmal! LG



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-24


Hallo weini4820,

die Taylorreihe der Funktion \(f(x)=\frac{1}{1-x}\) (Entwicklungspunkt \(0\)) lässt sich sehr leicht bestimmen. Dazu muss einfach \(f^{(k)}(0)\) für \(k\in\mathbb{N}_0\) berechnet werden. Wenn Du die ersten paar Ableitungen ausrechnest, erkennst du schnell ein Muster, das Du leicht induktiv beweisen kannst.

Weitere triviale Beispiele wären z.B. Polynome :P

Es gibt aber zahlreiche weitere Beispiele, z.B. Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen, Gamma-/Beta-/Zeta-Funktion etc.

Da analytische Funktionen insbesondere unendlich oft differenzierbar sind, ist natürlich jede nicht unendliche oft differenzierbare Funktion ein Beispiel einer nicht analytischen Funktion :)

Eine sehr wichtige Menge von unendlich oft differenzierbaren Funktionen, welche nicht analytisch sind, ist \(C_c^\infty\). Dies sind die unendlich oft differenzierbaren Funktionen, welche kompakte Träger haben. Keine Funktion in \(C_c^\infty\) (außer der Nullfunktion) ist analytisch. \(C_c^\infty\) spielt in der Distributionentheorie eine sehr große Rolle.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-25

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Hallo weini4820,

sonnenscheins Antwort ist eigentlich wenig hinzuzufügen, außer was die Taylorreihe von $\frac{1}{1-x}$ angeht. Die solltest du nämlich gar nicht induktiv bestimmen müssen, sondern bereits kennen, denn sie wird praktisch immer durchgenommen, bevor man bei Potenzreihen angelangt (die sind nämlich ohne fast nicht behandelbar). Es ist bekannt, dass das gerade der Grenzwert der geometrischen Reihe ist. Nur wird die typischerweise mit $q$ statt $x$ geschrieben. Für alle $q\in\mathbb C$ mit $\vert q\vert<1$ gilt
\[\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}.\] Ersetze $q$ durch $x$, und dann hast du es schon.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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weini4820
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27


Hallo! Die geometrische Reihe ist mir bekannt, allerdings war mein Problem das |q|<1, was ist mit |q|>1? Ist es dann immer noch analytisch bzw existiert eine Reihe für ein beliebiges q oder muss man es auf |q|<1 beschränken?



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weini4820
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27


Was ich bereits habe ist, dass sich die Ableitungen folgendermaßen ergeben:

$f^{(k)}(x)=k!a_k+(k+1)!a_{k+1}(x-x_0)...$



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weini4820
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27


An Sonnenschein96: ich hab mir das mit den Testfunktionen durchgelesen, verstehe aber noch nicht ganz, woraus man da schließen kann, dass diese Art von Funktionen analytisch sind. Gibt es irgendwo ein schön ausgeführtes Beispiel wo man es gut nachvollziehen könnte?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-28

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Aus der Bedingung $\vert q\vert <1$ bzw. $\vert x\vert <1$ kannst du den Konvergenzradius der Potenzreihe ablesen. Innerhalb des entsprechenden Konvergenzkreises ist die Funktion sicherlich analytisch. Aber auch außerhalb ist sie das. Um eine Potenzreihenentwicklung um einen beliebigen Entwicklungspunkt $x_0$ zu finden, schreibe den Funktionsterm um:
\[\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x_0-(x-x_0)}=\frac{1}{1-x_0}\frac{1}{1-\frac{x-x_0}{1-x_0}}=\frac{1}{1-x_0}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{x-x_0}{1-x_0}\right)^k.\] Die letzte Gleichung gilt wieder für alle $x$, sodass $\left\vert\frac{x-x_0}{1-x_0}\right\vert<1$. Das funktioniert für alle $x_0\neq1$, aber das verwundert auch nicht, denn dort hat die Funktion ohnehin eine Definitionslücke.
\(\endgroup\)


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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-28


Die Testfunktionen aus \(C_c^\infty\) sind zwar per Definition unendlich oft differenzierbar, aber (außer der Nullfunktion) ja gerade NICHT analytisch, was ich auch geschrieben hatte.

Dies folgt im Wesentlichen aus dem Identitätssatz für Potenzreihen ().

Jede Testfunktion ist aber zumindest in den Punkten außerhalb des Trägers analytisch. Es gibt aber sogar Funktionen, die unendlich oft differenzierbar, aber nirgends analytisch sind:



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weini4820
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-01 10:45


ok, also das mit der Taylorreihe habe ich jetzt verstanden, allerdings scheitere ich nun an der Konvergenz. Ich hätte es mit dem Quotientenkriterum probiert, aber dafür müsste ja das x außerhalb der Klammer sein und ich bekomme es einfach nicht hin. Kannst du mir da nochmal helfen Vercassivelaunos?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-01 13:29

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Da brauchst du gar keine Konvergenzkriterien. Die beiden Standardkonvergenzkriterien (Wurzel- und Quotientenkriterium) basieren gerade darauf, Reihen mit der geometrischen Reihe zu vergleichen, und daraus Schlüsse über die Konvergenz zu ziehen. Aber hier haben wir ja bereits eine geometrische Reihe, wir müssen sie also nicht erst mit einer geometrischen Reihe vergleichen, sondern können direkt unser Wissen über das Konvergenzverhalten geometrischer Reihen nutzen: Die Reihe
\[\sum_{k=0}^\infty q^k\] konvergiert genau dann, wenn $\vert q\vert<1$. Entsprechend konvergiert die Reihe
\[\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{x-x_0}{1-x_0}\right)^k\] genau dann, wenn
\[\left\vert\frac{x-x_0}{1-x_0}\right\vert<1\] ist. Was wiederum genau dann der Fall ist, wenn $\vert x-x_0\vert<\vert 1-x_0\vert$. Und Multiplikation mit dem konstanten Faktor $\frac{1}{1-x_0}$ ändert am Konvergenzverhalten nichts. Daher ist $\vert 1-x_0\vert$ der Konvergenzradius der Potenzreihe
\[\frac{1}{1-x_0}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{x-x_0}{1-x_0}\right)^k.\]
\(\endgroup\)


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weini4820
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Stimmt, danke für deine Hilfe!



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weini4820
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danke!



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weini4820 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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