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Mathematik » Topologie » Kleinsche Flasche aufschneiden?
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Kein bestimmter Bereich Kleinsche Flasche aufschneiden?
Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-26 14:05


Hallo!

Vom Möbiusband kennen das wohl Alle: Wenn man es in der Mitte aufschneidet, dann erhält man wieder nur eines und nicht zwei Bänder. Außerdem gibt es noch ein überraschendes Ergebnis, wenn man 3 Schnitte macht. Was herauskommt, wenn man noch weiter geht, läßt sich dann daraus ableiten.

Kann man die Kleinsche Flasche auch vergleichbar "aufschneiden"? Und was kommt dann dabei heraus?

Viele Grüße, Bernhard




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"Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuches, sie zu erwerben"
Albert Einstein



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-26 14:22


Hallo Bernhard,

vielleicht kennst du dieses Bild der Kleinschen Flasche (geklaut aus Wikipedia):
Du hast also ein Quadrat, von welchem du die roten und die blauen Kanten entlang der Pfeilrichtung miteinander verklebst.

Wenn du nun wieder entlang der blauen Kante aufschneidest, erhältst du ein normales Band. Schneidest du hingegen entlang der roten Kante auf, erhältst du ein Möbiusband.

Vielleicht gibt es noch mehr Möglichkeiten.



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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-30 23:27


Hallo StrgAltEntf!

Nein, diese Graphik kannte ich noch nicht. Als Veranchaulichung sieht sie zwar recht einfach aus, aber man verbiegt sich dabei die Augen und das Vorstellungsvermögen genauso wie man es dieser Fläche antun soll.🙄

Wenn du nun wieder entlang der blauen Kante aufschneidest, erhältst du ein normales Band. Schneidest du hingegen entlang der roten Kante auf, erhältst du ein Möbiusband.

Das begreife ich auch nicht. Wenn ich die Kanten zusammengeklebt habe, dann sollte das ja eine zusammenhängende Fläche ergeben. Das bedeutet aber auch, daß die Lage der ehemaligen Begrenzungslinien ("Kanten") nicht mehr auffindbar sein sollte. Wo muß ich dann die Schnitte ansetzen? Den Henkel von der Flasche absägen?

Viele Grüße, Bernhard


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-03 11:48


2020-09-30 23:27 - Bernhard in Beitrag No. 2 schreibt:
Als Veranchaulichung sieht sie zwar recht einfach aus, aber man verbiegt sich dabei die Augen und das Vorstellungsvermögen genauso wie man es dieser Fläche antun soll.🙄
Hallo Bernhard,
so kompliziert ist das gar nicht. Dieses Verklebungskonzept kennt man bspw. auch von einer Weltkarte in einem Atlas

Man muss sich nun vorstellen, dass die Karte entlang der roten Kante verklebt wird. Es entsteht ein Schlauch. Nun wird noch der entstehende gelbe Kreis zu einem Punkt (dem Nordpol) und der blaue Kreis ebenfalls zu einem Punkt (dem Südpol) zusammengezogen. Wenn man sich auf der Karte in Russland dem rechten Rand nähert, kommt man schließlich auf dem linken Rand in Alaska wieder heraus.

Und so sieht dann ein Torus (Schwimmreifen) aus:

Zuerst werden die beiden roten Kanten verklebt, und man erhält wieder einen Schlauch. Anschließend werden die beiden entstehenden blauen Kreise miteinander verklebt.

Bei der Kleinschen Flasche ist es fast analog, nur dass die beiden blauen Kreise vor dem Verkleben im 4D-Raum verdreht werden.

2020-09-30 23:27 - Bernhard in Beitrag No. 2 schreibt:
Das begreife ich auch nicht. Wenn ich die Kanten zusammengeklebt habe, dann sollte das ja eine zusammenhängende Fläche ergeben. Das bedeutet aber auch, daß die Lage der ehemaligen Begrenzungslinien ("Kanten") nicht mehr auffindbar sein sollte. Wo muß ich dann die Schnitte ansetzen? Den Henkel von der Flasche absägen?
Hierzu kannst du dir Längen- und Breitengrade auf dem Quadrat malen. Diese gehen dann durch die Verbiegung und Verklebung in das 4D-Objekt über, so wie es auch bei einer Weltkarte der Fall ist. So findest du die Schnitte im 2D-Modell im 4D-Modell wieder.

Bei der Kleinschen Flasche kann man sich etwa auch eine Ameise vorstellen, die im Punkt X startet, entlang der grünen Linie zum Punkt B am unteren Rand läuft. Sie kommt dann bei B am oberen Rand heraus, rennt weiter bis zu A am unteren Rand, kommt bei A am oberen Rand heraus und läuft schließlich zurück nach X.

Dieser grüne Ameisenrundweg ist dann eine geschlossene Kurve auf der Kleinschen Flasche, entlang du mit der Schere schneiden kannst.

Was ist das Resultat?



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