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Zahlentheorie » Algebraische Zahlentheorie » Führer, Verzweigungsindex, Satz von Kummer-Dedekind
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Universität/Hochschule Führer, Verzweigungsindex, Satz von Kummer-Dedekind
RatedRsuperstar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-26


Guten Tag :)

Ich quäle mich momentan ein wenig mit dem Führer und dem Satz von Kummer Dedekind herum. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.

Die allgemeinen Voraussetzungen sind: R ist Hauptidealring, \(\mathscr{O}\) ist eine R-Ordnung.

Wir haben den Führer definiert als \(\mathscr{F}\):={x \(\in\) L | xS \(\subseteq \mathscr{O}\)}.

\(\mathscr{F}\) enthält alle gemeinsamen Ideale von \(\mathscr{O}\) und S und ist zudem ein Ideal von S sowie von \(\mathscr{O}\). Das habe ich soweit verstanden.

Nun definieren wir uns zwei Mengen:
\(I_0(\mathscr{O},\mathscr{F}\)):= {\(\alpha | \alpha\) Ideal von \(\mathscr{O}\) mit \(\mathscr{F} + \alpha = \mathscr{O}\)}
\(I_0(S,\mathscr{F}\)):= {\(\alpha | \alpha\) Ideal von \(S\) mit \(\mathscr{F} + \alpha = S\)}
Zu diesen Mengen definieren wir uns die folgenden Abbildungen:
\(\Phi:\) \(I_0(\mathscr{O},\mathscr{F})\)\(\rightarrow\)\(I_0\) \( (S, \mathscr{F})\) mit \(\alpha \mapsto S\alpha\)
\(\psi:\) \(I_0(S,\mathscr{F})\)\(\rightarrow\)\(I_0\) \( (\mathscr{O}, \mathscr{F})\) mit \(\beta \mapsto \beta \cap \mathscr{O}\)

Was bringen uns diese Mengen und Abbildungen genau? Wir haben halt irgendwie die Folgerung, dass Primideale auf Primideale abgebildet werden. Zudem tätigen wir die AUssagen, dass genau die Ideale, die teilerfremd zum Führer sind, das Problem bei der Dedekindring-Eigenschaft von \(\mathscr{O}\) sind. Warum ist das so? Und was genau geht dort kaputt?

Nun noch zum Satz von Kummer Dedekind. Ich hoffe ihr seid noch bei mir uns lest fleißig mit :) ;)
Diesen haben wie folgt formuliert:

Satz (Kummer, Dedekind)

Sei \(y \in L\), L = K [y], y ganz über R.
Sei f das Minimlpolynom \(f \in K[t]\) normiert von y über K.
Definiere: \(\mathscr{O} := R[y]\)

1. Es gilt:\(f \in R[t]\), \(\mathscr{O}\) ist endlich erzeugt über R und hat eine R-Basis \(1,y,...,y^{deg f - 1}\). Des Weiteren gilt: \(L = K\mathscr{O}= Quot(\mathscr{O}, \mathscr{O} \subseteq S\). Also ist \(\mathscr{O}\) eine R-Ordnung. (Name: Gleichungsordnung)


2. Sei \(\mathscr{F\) der Führer von \(\mathscr{O}\) in S. Seien p ein Primideal von R mit \(\mathscr{O}_p + \mathscr{F} = \mathscr{O}\), \(p_1,...,p_r\) die Primideale von S über p.
Betrachte die Faktorisierung \(f = \Pi_{i=1}^{s} f_{i}^{e_i}\) mod pR[t] von f mit \(f_i \in R[t]\) normiert und die \(f_i\) definiert in \((R/p)[t]\) paarweise verschiedene irreduzible Polynome.
Dann gelten: \(s = r, p_i = S_p +S_{f_i(y)}\), \(e(p_i|p) =e_i, f(p_i|p) = deg f_i\)

Meine Frage ist jetzt was uns der Satz alles sagt. Der erste Teil gibt uns ja an sich nur Aufschluss darüber, dass f bereits in R[t] liegt und \(\mathscr{O}\) eine R-Ordnung ist?
Den zweiten Teil verstehe ich, glaube ich, kaum.  Warum betrachten wir genau dieses Primideal von R? Insgesamt erhalten wir die Faktorisierung des Polynoms, welches wir mod p betrachten. Die Faktorisierung enthält dann genau die Verzweigungsgrade \(e_i\) und die Trägheitsgrade \(f_i\). Was eine Erleichterung wäre um diese zu bestimmen?!
Bonusfrage zum Verzweigungsindex: Diesen haben wir definiert durch:
\(e(P|p) := V_P (S_p)\) mit \(S_p = \Pi_{P|p} P^{e(P|p)}\) Ist das nicht irgendwie über sich selbst definiert? Oder sieht das nur so verwirrend aus, weil wir das über die Bewertung definiert haben? Normalerweise hat man doch einfach
\(\mathscr{O}_L*p\) = \(\Pi_{i=1}^{q} P_i^{e_i}\)

Ich hoffe ihr könnt mir einigermaßen weiterhelfen :)

Liebe Grüße und ein schönes Wochenende :)



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-27


2020-09-26 16:13 - RatedRsuperstar im Themenstart schreibt:
Bonusfrage zum Verzweigungsindex: Diesen haben wir definiert durch:
\(e(P|p) := V_P (S_p)\) mit \(S_p = \Pi_{P|p} P^{e(P|p)}\) Ist das nicht irgendwie über sich selbst definiert? Oder sieht das nur so verwirrend aus, weil wir das über die Bewertung definiert haben? Normalerweise hat man doch einfach
\(\mathscr{O}_L*p\) = \(\Pi_{i=1}^{q} P_i^{e_i}\)

Meinst du echt $S_p$ und nicht $pS$? Ich persönlich hätte es auch nicht so aufgeschrieben, aber gemeint ist $\mathfrak{p} S = \Pi_{\mathfrak{P}|\mathfrak{p}} \mathfrak{P}^{e_{\mathfrak{P}}}$ (Eindeutigkeit der Zerlegung von Idealen in Dedekindringen) und man definiert $e(\mathfrak{P}|\mathfrak{p}) := e_{\mathfrak{P}}$.

Zu deinen restlichen Fragen kenne ich mich leider nicht so gut aus/habe keine Zeit, sie mir genauer durchzulesen.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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