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Universität/Hochschule J Tangentialkegel berechnen
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-28


\(\textbf{Definition}\)
Eine (lineare) Lie-Gruppe ist eine Untergruppe $G$ der allgemeinen linearen Gruppe; $G \subseteq \mathrm{GL}(n;\mathbb{R}) \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$; sodass $G$ eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des Vektorraums $\mathbb{R}^{n \times n}$ ist.

\(\textbf{Aufgabe}\)
Betrachte die orthogonale Gruppe $O(n) := \{A \in \mathbb{R}^{n \times n}
\mid A^T A = I\}$.

1) Zeige, dass $O(n) \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$ eine Lie-Gruppe ist. (hab ich geschafft mit der Abbildung $g(X)=X^TX$)
2) Bestimme den Tangentialkegel $T_I G \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$ am Punkt der Einheitsmatrix $I$.
3) Bestimme die Dimension von $O(n)$ (folgt mit 1. Teilaufgabe aus dem Regular Value Theorem, hab ich geschafft).


Zu zeigen ist \(T_IO(n) = \{H \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid H + H^T = 0\}.\)

Zu meiner Abbildung $g:\mathbb{R}^{n \times n} \to \mathrm{Symm}(n;\mathbb{R}),g(X)=X^TX,$ habe ich die Ableitung am Punkt der Einheitsmatrix berechnet. Es ist für alle $X \in \mathbb{R}^{n\times n}: g(I)'X=X+X^T$.

Wie fahre ich hier weiter?🤔



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-28


Ich gebe hier zudem noch unsere Definition von Tangentialkegel aus der Vorlesung wieder:

Sei $\emptyset \neq M \subset X$. Ein Vektor $v \in X$ heisst Tangentialvektor an $M$ im Punkt $a \in M$ (auch Geschwindigkeitsvektor), wenn es is $M$ eine stetig differenzierbare Kurve $\gamma:(-\epsilon;\epsilon) \to M,\epsilon>0$ gibt, sodass $\gamma(0)=a$ und $\gamma'(0)=v$ erfüllt sind.

Die Gesamtheit der Tangentialvektoren an $M$ in $a$ heisst Tangentialkegel von $M$ in $a$ und wird mit $T_aM$ bezeichnet.



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-28


Hallo Phoensie,

es gilt \(T_AO(n)=\ker(Dg_A)\) für alle \(A\in O(n)\). Dies gilt allgemein beim Satz vom regulären Wert (den Du ja offenbar auch schon in Aufgabe 1 und 3 verwendet hast):

Ist Dir dies nicht bekannt?



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-28


Lieber sonnenschein96

Das mit dem Kern der Ableitung hat mein Professor nicht abgedeckt während der Vorlesung; der Satz steht aber in seinem Vorlesungsskript, und gemäss einem Mail des Übungsleiters darf (bzw. muss) ich dies hier auch ausnutzen.

Ich habe also zu $g:\mathbb{R}^{n \times n} \to \mathrm{Symm}(n;\mathbb{R}),g(X)=X^TX,$ die Ableitung am Punkt der Einheitsmatrix berechnet. Dafür erhalte ich
\[
\mathrm{D}g(I)X = X + X^T
\] Jetzt ist nach dem von dir genannten Satz der Kern dieser Abbildung genau der Tangentialkegel, den ich suche. Somit folgt
\[
T_IO(n)
    = \ker(\mathrm{D}g(I))
    = \{H \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid H + H^T = 0\}
\]
Danke für die Hilfe!



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