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Universität/Hochschule J Superpositionsprinzip elektrisches Potential
Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-29


In meinem Skript steht:


"Für ein Zentralfeld $\overset{\rightarrow}{E}$ gilt:

$\overset{\rightarrow}{E} d \overset{\rightarrow}{s}= E \overset{\rightarrow}{e_r}  d\overset{\rightarrow}{s} = E dr$

Ich bin mir nicht sicher was hier mit Zentralfeld gemeint ist, ich gehe davon aus, dass es um das elektrische Feld einer Punktladung geht, verstehe ich das richtig? $r$ ist hier nur der Abstand zur Punktladung.

Nun gilt bei so einem elektrischen Feld für das elektrische Potential:

$\varphi(r)=\dfrac{1}{4 \pi e_0 r} Q   (*)$

es hängt also nur vom Abstand von der Punktladung ab.

Nun bin ich vom Folgenden verwirrt:

Wenn ich nun zwei Punktladungen habe und mir deren elektrisches Feld anschaue, gilt

$\overset{\rightarrow}{E}= \overset{\rightarrow}{E_1}+\overset{\rightarrow}{E_2}$

Dann gilt auch für deren elektrisches Potenzial:

$\varphi(\overset{\rightarrow}{r})=\varphi_1(\overset{\rightarrow}{r})+ \varphi_2(\overset{\rightarrow}{r})$

In einer Aufgabe im Internet habe ich nun in der Lösung so einer Aufgabe gesehen, dass man die elektrischen Potenziale einzeln berechnet, aber dabei Formel (*) nutzt.
Was mich daran verwirrt:

1) wieso darf ich die Formel benutzen, ich habe ja nicht nur eine Punktladung

2) wenn gilt, dass man diese Formel auch für mehrere Punktladungen benutzen darf, müsste ich doch folgende Umformung machen:

$\overset{\rightarrow}{E_1+E_2} d \overset{\rightarrow}{s}= E \overset{\rightarrow}{e_r}  d\overset{\rightarrow}{s} = E dr$

Ich müsste also für beide Felder denselben Einheitsvektor benutzen.

Ich könnte mir vorstellen, dass meine Erklärung zu Punkt 2 etwas verwirrend ist, deshalb will ich noch das Beispiel aus der Aufgabe zeigen, ich vereinfache aber die Zahlenwerte:

Wir haben eine Punktladung $Q_1=1$ und $Q_2=2$. $Q_1$ hat die Koordinaten $(-1,1)$ und $Q_2$ die Koordinaten $(1,-1)$. Ich will nun das elektrische Potenzial im Punkt $(0,0)$ berechnen. Wenn ich nun die Potentiale einzeln berechne und die Formel oben benutze kriege ich:

$\varphi_1(r)+\varphi_2(r)=\dfrac{1}{4 \pi e_0 *\sqrt{2}} (1+2)   $


So ist es auch in der Lösung zu der Aufgabe berechnet.

Ich würde allerdings denken, dass folgende Rechnung richtig ist:

Zunächst berechne ich

$\overset{\rightarrow}{E}(\overset{\rightarrow}{x})= [\overset{\rightarrow}{E_1}+\overset{\rightarrow}{E_2} ](\overset{\rightarrow}{x})= \dfrac{1}{4 \pi e_0 *\sqrt{2}^2}[Q_1\dfrac{\overset{\rightarrow}{x}-(-1,1)}{\vert \overset{\rightarrow}{x}-(-1,1) \vert}+Q_2\dfrac{\overset{\rightarrow}{x}-(1,-1)}{\vert \overset{\rightarrow}{x}-(1,-1) \vert}]$

Hier müsste ich dann entweder direkt integrieren um auf das Potenzial zu kommen, oder ich müsste die beiden Einheitsvektoren zu demselben Einheitsvektor umformen um die Formel (*) nutzen zu können.

Es würde aber nicht dasselbe rauskommen, wie es in der Lösung der Aufgabe berechnet wurde.


Ich hoffe, ich hhabe es geschafft meine Frage einigermaßen klar und strukturiert rüberzubringen.

Sieht jemand meinen Denkfehler hier?



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-29


2020-09-29 11:07 - Aegon im Themenstart schreibt:
"Für ein Zentralfeld $\overset{\rightarrow}{E}$ gilt:

$\overset{\rightarrow}{E} d \overset{\rightarrow}{s}= E \overset{\rightarrow}{e_r}  d\overset{\rightarrow}{s} = E dr$

Was man hier vielleicht noch erwähnen sollte ist, dass stillschweigend das Koordinatensystem so gelegt wurde, dass sich die Punktladung im Ursprung befindet. Damit sind $\vec{E}$ und $\vec{e}_r$ auch immer kollinear.
Bei zwei Ladungen an verschiedenen Orten gibt es keinen derart kanonischen Ursprung für das Koordinatensystem mehr und es gibt im Allgemeinen überhaupt keinen möglichen Ursprung, so dass $\vec{E}_\text{tot}=\vec{E}_1+\vec{E}_2$ und $\vec{e}_r$ immer kollinear sind, da wir kein Zentralfeld mehr haben. Damit kann der Ansatz
2020-09-29 11:07 - Aegon im Themenstart schreibt:
$\overset{\rightarrow}{E_1+E_2} d \overset{\rightarrow}{s}= E \overset{\rightarrow}{e_r}  d\overset{\rightarrow}{s} = E dr$

Ich müsste also für beide Felder denselben Einheitsvektor benutzen.
nicht stimmen.



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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-29


Hallo,

danke für die Antwort, also der Meinung bin ich auch. Allerdings wird hier:



bei Aufgabenteil a) soweit ich sehe genau das gemacht, oder?



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-29


Für alle Punkte auf der Geraden durch $Q_1$ und $Q_2$ (und nur für diese) sind $\vec{E}_1$ und $\vec{E}_2$ kollinear und man kann dies auf ein eindimensionales Problem zurückführen.

Für alle anderen Punkte gilt dies nicht. Berechne doch mal Betrag und Richtung von $\vec{E}$ im Punkt $B$.



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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-01 11:22


Ok, alles klar jetzt hab ich es verstanden. Danke!

Das heißt aber, dass zum Beispiel im Punkt B das Potenzial nicht so berechnet werden kann, oder?



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-01 14:54


Üblicherweise meint Zentralfeld einfach nur, dass $\vec{E}(\vec{r})=\vec{E}(r)$ nur eine Funktion vom Abstand vom Ursprung ist.

Das ist bspw. für jede radialsymmetrische Ladungsdichte $\rho(r)$ der Fall und nicht nur für eine Punktladung.



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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-01 17:33


Also wenn ich zum Beispiel eine Ladungsdichte hätte, die auf jedem Kreisring gleich ist, oder?




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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-01 18:34


2020-10-01 17:33 - Aegon in Beitrag No. 6 schreibt:
Also wenn ich zum Beispiel eine Ladungsdichte hätte, die auf jedem Kreisring gleich ist, oder?

Ja. Wobei ich vermute, dass man "zum Beispiel" weglassen kann, ich glaube nicht dass Zentralfelder durch andere Ladungsdichten entstehen können (in der Elektrostatik).

2020-10-01 11:22 - Aegon in Beitrag No. 4 schreibt:
Das heißt aber, dass zum Beispiel im Punkt B das Potenzial nicht so berechnet werden kann, oder?

Doch, das Potential schon, dieses ist schliesslich eine skalare Grösse, für welche das Superpositionsprinzip gilt!

Für das $\vec{E}$-Feld müsste man aber die beiden Einzelfelder nun wirklich vektoriell addieren. Oder aber man geht den Weg über das Potential und berechnet dann den zweidimensionalen Gradienten.



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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-03 12:23


Hallo,

danke schonmal für die Antworten. Ich habe es irgendwie noch nicht komplett verstanden bzw. bin ich mir nicht sicher ob ich es richtig verstanden habe:

Betrachten wir zunächst nur die elektrischen Felder: Der Betrag eines elektrischen Feldes einer Punktladung ist ja immer nur von dem Abstand von der Probeladung abhängig, richtig?
Aber selbst bei einer Punktladung sehe ich nicht, warum

$\overset{\rightarrow}{E}(\overset{\rightarrow}{r} )=\overset{\rightarrow}{E}(r)$

gelten kann, denn die Richtung des Vektorfeldes hängt ja trotzdem nicht nur von dem Abstand von einem Punkt ab. Also nehmen wir zum Beispiel einen Kreisring um die Punktladung, dann ist der Betrag des elektrischen Feldes natürlich überall auf dem Kreisring gleich, aber die Richtung des Feldes ist nicht gleich.
Wenn ich dann in diesem Fall einer Punktladung das Potenzial berechnen will, habe ich

$\int\limits_{S_1} \overset{\rightarrow}{E}(\overset{\rightarrow}{r} ) \ d \overset{\rightarrow}{s}$

und das Skalarprodukt von Tangentialfeld und dem Richtungsvektor des Abstandes ist dann immer gleich. Deshalb hängt dann das Potenzial nur vom Abstand ab, das sehe ich ein. Aber wieso das elektrische Feld selber nur vom Abstand abhängt sehe ich nicht.

Wegen dem Superpositionsprinzip gilt für eine beliebige abzählbare (oder endliche?) Anzahl von Punktladungen dasselbe, das heißt wenn ich das Potenzial in dem Punkt berechnen will addiere ich einfach die einzelnen Potenziale.

Nun wieder eine Frage zum Beispiel in der Aufgabe: das heißt doch, dass ich für jeden beliebigen Punkt die elektrischen Felder nicht vektoriell zu addieren und zu integrieren brauche.

Ist das so richtig?

Sehe ich es dann richtig, dass, im Beispiel der Aufgabe, der einzige Vorteil davon, dass ich einen Punkt auf der Geraden $Q_1Q_2$ betrachte, ist, dass das elektrische Feld tatsächlich(auch die Richtung) nur abhängig von dem Abstand $r$ zum Mittelpunkt ist. Aber beim Rechnen bringt mir das keine großen Vorteile, oder?



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-04 03:53


2020-10-03 12:23 - Aegon in Beitrag No. 8 schreibt:
Aber selbst bei einer Punktladung sehe ich nicht, warum

$\overset{\rightarrow}{E}(\overset{\rightarrow}{r} )=\overset{\rightarrow}{E}(r)$

gelten kann, denn die Richtung des Vektorfeldes hängt ja trotzdem nicht nur von dem Abstand von einem Punkt ab.
Da hast du absolut recht, das ist so nicht richtig. Laut Wikipedia gilt
"Eine Zentralkraft ist eine Kraft, die immer auf einen festen Punkt (das Kraftzentrum Z) bezogen ist, also auf Z zu bzw. von Z weg zeigt."

Das heisst erstmal nur, dass
$$\vec{F}(\vec{r})=F(\vec{r})\cdot \vec{e}_r\enspace,$$ $$\vec{F}(\vec{r})=F(\vec{r})\cdot \vec{e}_r\enspace,$$ wobei $\vec{e}_r$ ein jeweils radial vom Zentrum weg gerichteter Einheitsvektor ist und $F(\vec{r})$ positive (abstossende Kraft) oder negative (anziehend) Werte annehmen kann.
Insbesondere muss eine solche Kraft nicht mal radialsymmetrisch sein! Ist sie das, gilt sogar
$$\vec{F}(\vec{r})=F(r)\cdot \vec{e}_r\enspace,$$ (kein Vektorpfeil mehr auf dem $r$ rechts).

Das elektrische Feld einer Punktladung ist sowohl ein Zentralfeld als auch radialsymmetrisch, also gilt
$$\vec{E}(\vec{r})=E(r)\cdot \vec{e}_r$$ und nicht die von wessi90 angegebene Bedingung.

2020-10-03 12:23 - Aegon in Beitrag No. 8 schreibt:
Wegen dem Superpositionsprinzip gilt für eine beliebige abzählbare (oder endliche?) Anzahl von Punktladungen dasselbe, das heißt wenn ich das Potenzial in dem Punkt berechnen will addiere ich einfach die einzelnen Potenziale.
Ja. Übrigens kann man eine kontinuierliche Ladungsdichte als überabzählbare Menge von Punktladungen betrachten, aus der Summe wird dann ein Integral.

2020-10-03 12:23 - Aegon in Beitrag No. 8 schreibt:
Nun wieder eine Frage zum Beispiel in der Aufgabe: das heißt doch, dass ich für jeden beliebigen Punkt die elektrischen Felder nicht vektoriell zu addieren und zu integrieren brauche.
Nein. Potentiale werden addiert, elektrische Felder werden auch addiert. Nur ist ersteres eine skalare Grösse und muss auch so addiert werden, zweiteres ist eine vektorielle Grösse und muss dementsprechend vektoriell addiert werden.
Wo in der Aufgabe werden beliebige Punkte behandelt, es soll doch nur das Feld im Punkt M berechnet werden, der doch alles andere als beliebig ist?

2020-10-03 12:23 - Aegon in Beitrag No. 8 schreibt:
Sehe ich es dann richtig, dass, im Beispiel der Aufgabe, der einzige Vorteil davon, dass ich einen Punkt auf der Geraden $Q_1Q_2$ betrachte,
Was ist der "Vorteil" davon, kollineare Vektoren zu addieren versus beliebig gerichtete Vektoren? Genau, wir können einfach die mit Vorzeichen versehenen Beträge der Vektoren addieren, da der von den Vektoren aufgespannte Unterraum eindimensional ist.
Das Schlussresultat soll aber schon wieder ein Vektor in zwei Dimensionen sein, darum ist in der Aufgabe ja auch nach der Richtung gefragt! Wir wissen aber schon im Voraus, dass dieser Vektor in Richtung der Diagonalen oder entgegengesetzt gerichtet sein muss, da $\vec{E}_1$ und $\vec{E}_2$ es auch sind.

Übung für dich: Löse die a) doch mal sauber vektorgeometrisch in 2 Dimensionen, berechne also jeweils die beiden Komponenten der Vektoren $\vec{E}_1$ und $\vec{E}_2$ im Punkt M, addiere sie vektoriell und schau was rauskommt.

2020-10-03 12:23 - Aegon in Beitrag No. 8 schreibt:
dass das elektrische Feld tatsächlich(auch die Richtung) nur abhängig von dem Abstand $r$ zum Mittelpunkt ist.
Ich hoffe du verstehst, dass wir hier die Superposition von zwei Zentralfeldern haben, welche selbst KEIN Zentralfeld mehr ist? Was also meinst du jetzt mit "Mittelpunkt" und was mit $r$?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-04 07:44


2020-09-29 11:54 - Aegon in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,

Allerdings wird hier:



bei Aufgabenteil a) soweit ich sehe genau das gemacht, oder?

Hallo Aegon,
das sehe ich nicht so. Die Potentiale werden addiert, dabei wird für \(r\) jeweils der Abstand zu \(Q_1\) und \(Q_2\) verwendet, die Feldstärken werden subtrahiert, weil sie als Vektor betrachtet genau entgegengesetzt gerichtet sind (ist auch in der Skizze so eingezeichnet). Das funktioniert aber nur bei der speziell vorgegebenen Lage in der Mitte zwischen \(Q_1\) und \(Q_2\). Allgemein muss man das nach deiner Variante rechnen.

Viele Grüẞe,
  Stefan



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-10-04 11:48


2020-10-04 07:44 - StefanVogel in Beitrag No. 10 schreibt:
Das funktioniert aber nur bei der speziell vorgegebenen Lage in der Mitte zwischen \(Q_1\) und \(Q_2\).

Die Mitte ist hier nicht so entscheidend, sondern nur, dass M auf derselben Gerade wie $Q_1$ und $Q_2$ liegt.



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Aegon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-04 11:56


Hallo,

danke schonmal für die Antworten. Ich habe das Thema allerdings immer noch nicht ganz durchblickt:

1)
2020-10-04 03:53 - traveller in Beitrag No. 9 schreibt:


Da hast du absolut recht, das ist so nicht richtig. Laut Wikipedia gilt
"Eine Zentralkraft ist eine Kraft, die immer auf einen festen Punkt (das Kraftzentrum Z) bezogen ist, also auf Z zu bzw. von Z weg zeigt."

Das heisst erstmal nur, dass
$$\vec{F}(\vec{r})=F(\vec{r})\cdot \vec{e}_r\enspace,$$ insbesondere muss eine solche Kraft nicht mal radialsymmetrisch sein! Ist sie das, gilt sogar
$$\vec{F}(\vec{r})=F(r)\cdot \vec{e}_r\enspace,$$ (kein Vektorpfeil mehr auf dem $r$ rechts).

Das elektrische Feld einer Punktladung ist sowohl ein Zentralfeld als auch radialsymmetrisch, also gilt
$$\vec{E}(\vec{r})=E(r)\cdot \vec{e}_r$$ und nicht die von wessi90 angegebene Bedingung.

Ich denke diese Aussage verstehe ich. Was mich daran noch verwirrt:

Soweit ich das bisher gesehen habe wird diese Eigenschaft eines radialsymmetrischen elektrischen Feldes nur bei der Berechnung des Potenzials wirklich hilfreich, denn dann gilt für das Potenzial

$$\varphi(\overset{\rightarrow}{r})=\dfrac{q}{4 \pi e_0 r} (*)$$
Wenn ich nun mehrere Punktladungen (wie zB in der Aufgabe) habe und damit das elektrische Feld nicht mehr radialsymmetrisch ist (außer auf der Geraden zwischen den Ladungen) kann ich ja aber trotzdem das Potenzial eines Punktes (zB des Punktes B, was in Teilaufgabe b) dort berechnet wird) mithilfe des Formel (*) für die einzelnen Punktladungen berechnen und dann addieren.
Was ich damit sagen will: soweit ich das sehe ist hier die Rechnung nicht viel umfangreicher, ich brauche trotzdem nicht vektoriell zu integrieren und sehe daher nicht den Vorteil eines radialsymmetrischen Feldes gegenüber zB mehrerer Punktladungen, die kein radialsymmetrisches Feld mehr ergeben.
Sehe ich das richtig?

Allgemein ist mein Problem: Was sind Beispiele von Ladungsverteilungen, bei denen man eben nicht Formel (*) nutzen könnte. Punktladungen oder Vereinigungen von Punktladungen sind es ja nicht.

 
(2020-10-04 03:53 - traveller in <a href=viewtopic.php?
Ja. Übrigens kann man eine kontinuierliche Ladungsdichte als überabzählbare Menge von Punktladungen betrachten, aus der Summe wird dann ein Integral.



Wenn ich das richtig verstehe kann ich also auch bei einer kontinuierlichen Ladungsdichte einfach über (*) integrieren, oder? Brauche also das elektrische Feld, auch wenn es nicht darstellbar ist als
$$\vec{E}(\vec{r})=E(r)\cdot \vec{e}_r$$
nicht vektoriell zu integrieren.

2020-10-04 03:53 - traveller in Beitrag No. 9 schreibt:

Nein. Potentiale werden addiert, elektrische Felder werden auch addiert. Nur ist ersteres eine skalare Grösse und muss auch so addiert werden, zweiteres ist eine vektorielle Grösse und muss dementsprechend vektoriell addiert werden.
Wo in der Aufgabe werden beliebige Punkte behandelt, es soll doch nur das Feld im Punkt M berechnet werden, der doch alles andere als beliebig ist?



In Teilaufgabe b) wird zum Beispiel das Potenzial im Punkt B berechnet.

Allgemein wollte ich nochmal klarstellen: Ich verstehe schon, dass ich, um das elektrische Feld zu berechnen, nicht überall auf die Form

$$\vec{E}(\vec{r})=E(r)\cdot \vec{e}_r$$
kommen kann, sondern vektoriell addieren muss und dass eben nicht jedes Feld ein Zentralfeld ist also auf einen Punkt zu oder wegzeigt. Auch dass kolineare Vektoren eben linear abhängig sind und einen eindimensionalen Raum aufspannen verstehe ich schon. Ich sehe nur noch nicht den großen Vorteil von elektrischen Feldern wo ich das kann, denn soweit ich das sehe macht es meine Rechnungen (vor allem Berechnung des Potenzials) nicht viel einfacher.




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-04 13:11


2020-10-04 11:56 - Aegon in Beitrag No. 12 schreibt:
Wenn ich nun mehrere Punktladungen (wie zB in der Aufgabe) habe und damit das elektrische Feld nicht mehr radialsymmetrisch ist (außer auf der Geraden zwischen den Ladungen)
Diese Aussage macht keinen Sinn. Wie will man über Radialsymmetrie sprechen, wenn man sich auf eine Gerade (also auf einen Winkel) festlegt.

2020-10-04 11:56 - Aegon in Beitrag No. 12 schreibt:
Wenn ich nun mehrere Punktladungen (wie zB in der Aufgabe) habe und damit das elektrische Feld nicht mehr radialsymmetrisch ist (außer auf der Geraden zwischen den Ladungen) kann ich ja aber trotzdem das Potenzial eines Punktes (zB des Punktes B, was in Teilaufgabe b) dort berechnet wird) mithilfe des Formel (*) für die einzelnen Punktladungen berechnen und dann addieren.
Ja. Allgemein wäre dies
$$\varphi(\vec{x})=\sum_i\dfrac{q_i}{4 \pi e_0 |\vec{x}-\vec{x}_i|}$$ mit $\vec{x}$ dem Ortsvektor des zu untersuchenden Punktes und $\vec{x}_i$ dem Ortsvektor der Ladung $q_i$.
Der "Vorteil", wie du es ausdrückst, bei einer einzelnen Punktladung ist hier nur, dass man nur einen einzelnen Summanden hat. Die Radialsymmetrie ist hier wenig relevant.

ALLERDINGS: Sind die Punktladungen radialsymmetrisch verteilt - was bei mehr als einer Ladung exakt nur bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung möglich ist - dann ergeben sich aus dem Satz von Gauss Vereinfachungen, nämlich dass man sich alle Ladungen in einer Sphäre als im Mittelpunkt konzentriert denken kann, was dann wieder ein Zentralfeld ergibt. Aber das ist hier wohl nicht das Thema.

2020-10-04 11:56 - Aegon in Beitrag No. 12 schreibt:
Allgemein ist mein Problem: Was sind Beispiele von Ladungsverteilungen, bei denen man eben nicht Formel (*) nutzen könnte. Punktladungen oder Vereinigungen von Punktladungen sind es ja nicht.
Da gibt es keine Gegenbeispiele, die obige Formel ist für diskrete Punktladungen allgemeingültig.

Für kontinuierliche Ladungsverteilungen wird sie zu
$$\varphi(\vec{x})=\int\dfrac{1}{4 \pi e_0 |\vec{x}-\vec{x}'|}dq(\vec{x}')=\int\dfrac{1}{4 \pi e_0 |\vec{x}-\vec{x}'|}\rho(\vec{x}')dV(\vec{x}')\enspace.$$
Aber ich würde vorschlagen, wir lassen kontinuierliche Ladungsverteilungen mal beiseite, bis wir die anderen Verständnisprobleme geklärt haben.

2020-10-04 11:56 - Aegon in Beitrag No. 12 schreibt:
Wenn ich das richtig verstehe kann ich also auch bei einer kontinuierlichen Ladungsdichte einfach über (*) integrieren, oder? Brauche also das elektrische Feld, auch wenn es nicht darstellbar ist als
$$\vec{E}(\vec{r})=E(r)\cdot \vec{e}_r$$
nicht vektoriell zu integrieren.
Kann es sein, dass du Feld und Potential nicht richtig auseinanderhalten kannst? Wieso versuchst du, mit der Formel für das Potential das Feld zu berechnen? Und doch: Für das Feld bräuchte man
$$\vec{E}(\vec{x})=\int\dfrac{\vec{x}-\vec{x}'}{4 \pi e_0 |\vec{x}-\vec{x}'|^3}dq(\vec{x}')=\int\dfrac{\vec{x}-\vec{x}'}{4 \pi e_0 |\vec{x}-\vec{x}'|^3}\rho(\vec{x}')dV(\vec{x}')$$ oder die diskrete Version
$$\vec{E}(\vec{x})=\sum_i\dfrac{q_i\cdot(\vec{x}-\vec{x}_i)}{4 \pi e_0 |\vec{x}-\vec{x}_i|^3}\enspace,$$ also ein vektorielles Integral/Summe.

ODER ABER: Man berechnet zuerst $\varphi(\vec{x})$ und benutzt dann
$$\vec{E}(\vec{x})=-\nabla \varphi(\vec{x})\enspace.$$ Das ist nicht unbedingt der einfachere Weg, da es ja nicht reicht, nur den Zahlenwert $\varphi(\vec{x})$ am Ort $\vec{x}$ zu berechnen, sondern man muss diese Funktion in Abhängigkeit von $\vec{x}$ finden, um davon den Gradienten (der im Wesentlichen aus Ableitungen besteht) berechnen zu können.

EDIT: Oder meinst du, dass man nicht
$$\varphi(\vec{x})=-\int_{\vec{x}_0} ^{\vec{x}} \vec{E}_\mathbb{tot}(\vec{x}')d\vec{x}'$$ (mit $\vec{E}_\mathbb{tot}=\vec{E}_1(\vec{x})+\vec{E}_2(\vec{x})$) integrieren muss, sondern direkt $\varphi(\vec{x})=\varphi_1(\vec{x})+\varphi_2(\vec{x})$ berechnen darf? Wenn ja, so folgt das fast schon trivial aus
$$\varphi(\vec{x})=-\int_{\vec{x}_0} ^{\vec{x}} \vec{E}_\mathbb{tot}(\vec{x}')d\vec{x}'=-\int_{\vec{x}_0} ^{\vec{x}} (\vec{E}_1(\vec{x}')+\vec{E}_2(\vec{x}'))d\vec{x}'\\=-\int_{\vec{x}_0} ^{\vec{x}} \vec{E}_1(\vec{x}')d\vec{x}'-\int_{\vec{x}_0} ^{\vec{x}} \vec{E}_2(\vec{x}')d\vec{x}'=\varphi_1(\vec{x})+\varphi_2(\vec{x})\enspace.$$



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2020-10-04 13:11 - traveller in Beitrag No. 13 schreibt:


EDIT: Oder meinst du, dass man nicht
$$\varphi(\vec{x})=-\int_{\vec{x}_0} ^{\vec{x}} \vec{E}_\mathbb{tot}(\vec{x}')d\vec{x}'$$ (mit $\vec{E}_\mathbb{tot}=\vec{E}_1(\vec{x})+\vec{E}_2(\vec{x})$) integrieren muss, sondern direkt $\varphi(\vec{x})=\varphi_1(\vec{x})+\varphi_2(\vec{x})$ berechnen darf? Wenn ja, so folgt das fast schon trivial aus
$$\varphi(\vec{x})=-\int_{\vec{x}_0} ^{\vec{x}} \vec{E}_\mathbb{tot}(\vec{x}')d\vec{x}'=-\int_{\vec{x}_0} ^{\vec{x}} (\vec{E}_1(\vec{x}')+\vec{E}_2(\vec{x}'))d\vec{x}'=-\int_{\vec{x}_0} ^{\vec{x}} \vec{E}_1(\vec{x}')d\vec{x}'-\int_{\vec{x}_0} ^{\vec{x}} \vec{E}_2(\vec{x}')d\vec{x}'\\=\varphi_1(\vec{x})+\varphi_2(\vec{x})\enspace.$$


Genau das meinte ich.

Ich habe meine Gedanken zu dem Thema noch nicht ganz sortiert und drücke mich deshalb manchmal falsch aus. Immer wenn ich geschrieben habe "ich brauche nicht vektoriell zu integrieren" meinte ich ich brauche das nicht zu tun, um das Potenzial zu berechnen. Wenn ich eine  kontinuierliche Ladungsverteilung habe muss ich natürlich schon vektoriell integrieren um das Feld zu berechnen.

Ich glaube ich kann jetzt meine ganze Verwirrung dazu in eine Frage fassen:
Sehe ich das richtig, dass es kein elektrisches Feld
$\vec{E}$ gibt, bei dem ich, um das Potenzial zu berechnen,

$$\int\limits_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{E} d \vec{s}$$
rechnen muss, da ich das Potenzial immer über die einzelnen Punktladungen mittels

$$\varphi(\overset{\rightarrow}{r})=\dfrac{q}{4 \pi e_0 r}$$
berechnen kann ? (Es sei denn natürlich ich habe nur ein elektrisches Feld gegeben und nicht die einzelnen Ladungen bzw. die Ladungsverteilung)



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Ja, das ist richtig.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-04 14:13


Ok, vielen Dank!



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Aegon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Aegon hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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