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Analysis » Folgen und Reihen » Substitution bei Potenzreihen
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Universität/Hochschule Substitution bei Potenzreihen
MotorolaM68000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-30 15:02


Liebe Forumsmitglieder,

ich wollte euch bei dem folgenden Problem um Rat fragen.

Und zwar ist mir noch nicht klar bzw. nicht genau klar, welche Substitutionen bei bekannten Potenzreihenentwicklungen von elementaren Funktionen zulässig sind bzw. wie sich eine Substitution auf den Konvergenzradius auswirkt.

1) Die Potenzreihendarstellung von $\frac{1}{1-x^2}$ lässt sich mit der Substitution $t:=x^2$ durch die geometrische Reihe einfach ermitteln und das Konvergenzintervall $(-1, 1)$ wegen $|x^2| < 1 \Leftrightarrow |x| < 1$ ebenso.

2) Betrachten wir aber z.B. $\frac{1}{1 - (2 - x^2)}$, so könnten wir mit der Substitution $t:=(2-x^2)$ formal analog vorgehen und bekämen als Konvergenzkreis f"ur $x$: $(-\sqrt{3}, \, -1) \cup (1, \sqrt{3})$ (aus der L"osung der Ungleichung $|2-x^2|<1$). Was bei einer reellen Potenzreihe nicht sein kann (oder doch?).

Das tats"achliche Konvergenzintervall ist $(-1, 1)$ was man schnell durch die Umformung: $\frac{1}{1 - (2 - x^2)} = \frac{-1}{1-x^2}$ und mit der geometrischen Reihe sieht.

Nun zu meinen konkreten Fragen:

A) Wieso versagt die erste Substitution unter 2)? Setzt man formal $t = (2-x^2)$ in die Reihe $\sum_{k=0}^\infty t^k$ so ist $\sum_{k=0}^\infty (2-x^2)^k$ doch nach wie vor eine Potenzreihe, da man jeden einzelnen Summanden $(2-x^2)^k$ wieder als Summe von Monomen schreiben kann, oder liege ich hier schon falsch?

Daneben: Wenn wir irgendein $x \in (-\sqrt{3}, \, -1) \cup (1, \sqrt{3})$ einsetzen, dann konvergiert die Reihe doch gerade gegen $-1/(1-x^2)$ ... weil dann ist doch gerade $|t|<1$ ... also hier stehe ich irgendwo komplett auf dem Schlauch.

B) Oder anders gefragt: Bei welchen Substitutionen $g:A \rightarrow B$ kann man bei einer Potenzreihe $p(t)$ mit endlichen Radius $R$ den Konvergenzkreis von $p(g(x))$  durch lösen der Ungleichung $|g(x)| < R$ bestimmen?

(Meine Vermutung: Das geht nur mit Substitutionen der Form $t=ax^n, a \in\mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ evtl. auch für $n$ reell.)

C) Wie ist der Unterschied wenn die Reihe in die substituiert wird
einen unendlichen Konvergenzradius besitzt?

Z.B. gilt $\cos(x^2+1) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(x^2+1)^{2k}}{(2k)!}$ dann automatisch f"ur alle $x \in \mathbb{R}$?

Wie sieht es mit $f(x)=\cos(\sqrt{x})$ aus? Die entsprechende formale Reihe  $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{k}}{(2k)!}$ konvergiert auf ganz $\mathbb{R}$ und stimmt  für $x \geq 0$ mit $f$ überein?

Natürlich könnte man auch wieder selbst Reihen in Reihen usw. einsetzen … wie sieht es da mit dem Resultat aus?

Über eine Beantwortung dieser oder Teile dieser Fragen würde ich mich wirklich sehr freuen und bedanke mich schon im Voraus für eure Mühe bei euch.





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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-30 16:23


Gute Fragen. :-)

A) Das Problem ist eher, dass du von "der Potenzreihenentwicklung" sprichst. An welchem Punkt entwickelst du? Offenbar möchtest du in $0$ entwickeln, wenn du aber $t = 2-x^2$ setzt, ist das nicht mehr der Fall. Wenn du $\frac{1}{1-(2-x^2)}$ in $x = \sqrt2$ entwickelst, erhälst du den Konvergenzbereich $(1, \sqrt3)$ wieder. Analog $x = -\sqrt2$.

Wenn du $t = 2-x^2$ in $0$ entwickelst, betrachtest du beide Bereiche gemeinsam, da $2-x^2 = 0$ zwei Lösungen, nämlich $\pm \sqrt2$, besitzt.

C) Das geht natürlich jeweils, du kannst z.B. in jedem Punkt Konvergenz überprüfen.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-30 16:57

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Hallo MotorolaM68000,

die Reihe
\[\sum_{k=0}^\infty (2-x^2)^k\] ist eben keine Potenzreihe, sondern im Endeffekt irgendeine Folge von Polynomen (in dem Sinne, wie eben auch eine Potenzreihe eine Folge von Polynomen ist). Aber nicht jede Folge von Polynomen ist auch eine Potenzreihe, entsprechend hat auch nicht jede Folge von Polynomen das gleiche Konvergenzverhalten wie eine Potenzreihe. Insbesondere muss das Konvergenzgebiet nicht zwingend eine Kreisscheibe sein, wie dein Beispiel zeigt. Wenn du durch Substitution eine Konvergenzreihe um den Entwicklungspunkt $x_0$ erhalten willst, dann müssen die Summanden so gewählt sein, dass tatsächlich nur Terme addiert werden, die von höherer Ordnung in $x-x_0$ sind, als alle bisherigen Terme. Das geht halt schief, wenn du die addierten Polynome erst ausmultiplizierst, denn dabei fallen auch Terme höherer Ordnung an. Grundsätzlich gilt: Wenn du eine Potenzreihe der Form
\[\sum_{k=0}^\infty a_k t^k\] hast, dann kannst du immer einen Term der Form $(x-x_0)^n$ mit $n\in\mathbb N$ für $t$ substituieren, und so eine Potenzreihe erhalten. Bei anderen Substitutionen musst du genau prüfen, ob du wirklich eine Potenzreihe erhältst (und mir fällt spontan auch keine ein, die funktioniert).

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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MotorolaM68000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-01 00:39


Hallo Vercassivelaunos & Kezer,

habt vielen Dank für eure schnelle Antwort.

Jetzt wurde mir schon einiges klarer … . Allerdings haben eure Antworten gleich noch mehr Fragen aufgeworfen.

Vielleicht könnt Ihr ja mal einen Blick darauf werfen?

Z.B. gibt es so typische Aufgaben  à la

"Geben Sie den Anfang der Potenzreihenentwicklung (bis einschließlich $x^5$) der folgenden Funktionen
(mit der Entwicklungsstelle $x_0$ in Null) an, indem Sie die bekannten Entwicklungen der Grundfunktionen
kombinieren!"


Zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{1+\cos(2x)}$.

Substituiert man hier $y = \cos 2x = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{45} + O(x^8)$ in der Binomialreihe von $(y+1)^{1/3} = 1 + y/3 -y^2/9 + \frac{5}{81}y^3 + O(y^4)$ mit Entwicklungsstelle $y_0 = 0$ und $|y|<1$ so erhalten wir formal:

$(y+1)^{1/3} \, = \,  \left(1 +  1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{45} \pm ... \right)^{1/3}$

$ \, = \,
\sqrt[3]{2} \left(1  - x^2 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{45} \pm ...  \right)^{1/3}$

$\, = \, \sqrt[3]{2}\left(1 + \frac{1}{3}(-x^2 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{45}x^6 \pm …\right)$

$\quad  - \frac{1}{9}(-x^2 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{45}x^6 \pm ...)^2 $

$\quad  + \frac{5}{81}(-x^2 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{45}x^6 \pm ...)^3)$

$ = ... = \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}\frac{2}{3}x^2 -
\frac{\sqrt[3]{2}}{405}x^6 + O(x^8)$

Darf man hier jetzt einfach

$f(x) = \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}\frac{2}{3}x^2 - \frac{\sqrt[3]{2}}{405}x^6 + O(x^8)$

setzen (in den Aufgaben wird das z.B. ohne Begründung bzw. der Angabe für welche $x$ das gültig ist einfach gemacht), d.h. stimmt die berechnete Entwicklung mit der Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $x_0 = 0$ mit der Funktion überein (bzw. gilt das nur für $|x|<1$?)

Woher weiß der Fragensteller schon von vornherein das hier eine Potenzreihe herauskommt?

Jetzt haben wir ja sogar eine Art "unendliches Polynom" in die Binomialreihe eingesetzt und einfach die Entwicklung passend abgebrochen.

Allerdings ist die Situation ja sehr ähnlich wie bei meinem Beispiel 2) vom ersten Post meinerseits.

Dort haben wir in der Geometrischen Reihe ein Polynom eingesetzt ... hier setzen wir in die Binomialreihe sogar eine Reihe ein .... Die Entwicklungspunkte von der Binomialreihe und von der Potenzreihe für den Cosinus sind hier zwar jeweils 0, aber trotzdem:
woran erkennt man denn, dass hier von vornherein auf jeden Fall eine Potenzreihe für $f$ entsteht und warum geht hier alles durch?

Vielen Dank für Eure Mühe






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