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 Endliche Funktion mit unendlichem Integral |
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Math_user
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 |  Themenstart: 2020-10-02
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Guten Abend zusammen
Sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein messbarer Raum. Nun stellt sich mir die Frage ob folgendes Möglich ist: Finde ich immer eine Funktion $f: M \to [0, \infty]$, s.d. $\int f d \mu = \infty$ aber $f < \infty$ fast überall, wenn $\mu (M) < \infty$?
Vielen Dank für eure Hilfe und einen guten Start in den Feierabend
Math_user
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zippy
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-02
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\quoteon(2020-10-02 16:50 - Math_user im Themenstart)
Finde ich immer eine Funktion $f: M \to [0, \infty]$, s.d. $\int f d \mu = \infty$ aber $f < \infty$ fast überall, wenn $\mu (M) < \infty$?
\quoteoff
Sicherlich nicht immer: $M=$ endliche Menge, $\mathcal A=\mathcal P(M)$, $\mu=$ zählendes Maß.
--zippy
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Triceratops
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 |  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-02
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$\mu=0$ ist ein Gegenbeispiel.
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Math_user
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-03
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Vielen Dank für eure Antworten. Ich sehe gerade noch nicht, wie mit $\mu=0$ ich erhalte, dass $\int f d \mu= \infty$ ist. Was übersehe ich?
Wenn ich nun die Bedingung wegnehme, dass $\mu(M)< \infty$ sein muss. Finde ich nun solch eine Funktion $f$ immer?
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zippy
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-03
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\quoteon(2020-10-03 09:59 - Math_user in Beitrag No. 3)
Wenn ich nun die Bedingung wegnehme, dass $\mu(M)< \infty$ sein muss. Finde ich nun solch eine Funktion $f$ immer?
\quoteoff
Für $\mu(M)=\infty$ kannst du ja einfach $f=1$ wählen.
Für $\mu(M)<\infty$ hilft dir die Zusatzbedingung weiter, dass es eine unendliche Familie von disjunkten Mengen mit positivem Maß gibt.
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-03
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\quoteon(2020-10-03 09:59 - Math_user in Beitrag No. 3)
Ich sehe gerade noch nicht, wie mit $\mu=0$ ich erhalte, dass $\int f d \mu= \infty$ ist. Was übersehe ich?
\quoteoff
Daher ist es ja ein Gegenbeispiel.
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Math_user
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-03
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@zippy: Sehe ich es richtig, dass ich eigentlich dann $\mu(M)= \infty$ wählen kann und für jede konstante Funktion ich dann erhalte, dass $\int f d \mu=\infty$ ist?
@Triceratops: Tut mir leid aber ich glaube ich übersehe dein Gegenbeispiel. Es sollte doch eine Funktion sein, welche endlich ist aber das Integral unendlich ist...
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zippy
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-03
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\quoteon(2020-10-03 14:05 - Math_user in Beitrag No. 6)
@zippy: Sehe ich es richtig, dass ich eigentlich dann $\mu(M)= \infty$ wählen kann und für jede konstante Funktion ich dann erhalte, dass $\int f d \mu=\infty$ ist?
\quoteoff
"Wählen" ist hier das falsche Wort, denn $\mu(M)$ ist ja gegeben und wählen kannst du nur $f$.
Richtig ist aber, dass in diesem Fall für jede konstante positive Funktion $\int f\,\mathrm d\mu=\infty$ ist.
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