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| Autor |
  Meromorph |
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kuckuck3
Aktiv 
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 146
 |  Themenstart: 2020-10-07
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Hallo, wir haben meromorph kurz gesagt so definiert, dass die Funktion auf \( \mathbb{C} \backslash \{Polstellen\} \) holomorph sein muss. Bzw. auch in wesentlichen Singularitäten komplex differenzierbar sein.
Wie schauts aber nun bei hebbaren Singularitäten aus? Ist z. B.
\( \frac{sin(z)}{z} \)
meromorph auf \( \mathbb{C} \)?
Ich denke schon, bin aber unsicher.
Viele Grüße
kuckuck3
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3563
Wohnort: der Nähe von Schwerin
|  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-07
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Hallo,
ja, wenn es eine hebbbare Singularität ist, dann ist es ja gar keine richtige Singularität. Es ist doch egal, ob du $f\colon \mathbb C\to \mathbb C$ durch
\[
f(z)=\begin{cases} \frac{\sin(z)}{z}, &z\neq 0\\ 1,&z=0\end{cases}
\]
oder
\[
f(z)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n+1)!}
\]
definierst. Die Reihe hat "Unendlich" als Konvergenzradius und ist somit holomorph.
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kuckuck3
Aktiv
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 146
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-08
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Ok danke. Aber noch eine blöde Frage zu deiner Funktion. Ich habe diese nämlich in letzter Zeit schon öfter gesehen und verstehe nicht ganz was da das "Besondere" ist. Sie ist ja nicht mal stetig oder?
Würde für mich "logischer" sein, wenn sie so aussieht:
\( f(z)=\begin{cases} \frac{\sin(z)}{z}, &z\neq 0\\ 0,&z=0\end{cases} \)
Was verstehe ich daran nicht?
Ps.: Vermutlich wolltest du in deinem zweiten. Fall z=0 schreiben oder?
Viele Grüße
kuckuck3
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kuckuck3
Aktiv 
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 146
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-08
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Hab nochmal drüber nachgedacht und jetzt verstehe ich das Problem, glaube ich zumindest. Der Nenner und Zähler würden ja gegen 0 gehen. Mit L´Hospital folgt dann, dass es sinnvoll ist die Funktion so zu definieren:
\( f(z)=\begin{cases} \frac{\sin(z)}{z}, &z\neq 0\\ 1,&z=0\end{cases} \)
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2544
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-08
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Huhu kuckuck3,
ja - da hat ochen sich nur verschrieben. \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}x\) ist ja einer der berühmtesten Grenzwerte überhaupt.
\quoteon(2020-10-08 12:07 - kuckuck3 in Beitrag No. 3)
[...] Mit L´Hospital folgt dann, [...]
\quoteoff
Da muss man aber etwas aufpassen, da genau dieser Grenzwert üblicherweise auch benötigt wird, um die Ableitung des Sinus herzuleiten.
Siehe dazu auch dort: https://math.stackexchange.com/questions/75130/how-to-prove-that-lim-limits-x-to0-frac-sin-xx-1
Gruß,
Küstenkind
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kuckuck3
Aktiv
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 146
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-08
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Ok vielen Dank. Somit ist auch diese Frage geklärt.
Viele Grüße
kuckuck3
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kuckuck3 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kuckuck3 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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