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Mathematik » Zahlentheorie » Request for discussion : Beal Conjecture
Thema eröffnet 2020-10-09 10:52 von TinoRitter
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Universität/Hochschule Request for discussion : Beal Conjecture
zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2020-10-20


2020-10-19 23:55 - dlchnr in Beitrag No. 39 schreibt:
... in Folge dessen der Beweisgang korrumpiert ist.

Eine Kette von Folgerungen der Form $(1)\to(2)\to\cdots\to\lnot(1)$ ist ein völlig korrekter Widerspruchsbeweis von $\lnot(1)$. Dadurch, dass am Ende $\lnot(1)$ herauskommt, wird der Schritt $(1)\to(2)$ nicht irgendwie "korrumpiert".



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24


@zippy

Was würdest Du abschließend sagen?
Ist der Weg plausibel oder muss ich hier noch etwas anderes zeigen.

Danke für Deine Antwort.



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dlchnr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2020-10-24


2020-10-20 00:19 - zippy in Beitrag No. 40 schreibt:

Eine Kette von Folgerungen der Form $(1)\to(2)\to\cdots\to\lnot(1)$ ist ein völlig korrekter Widerspruchsbeweis von $\lnot(1)$. Dadurch, dass am Ende $\lnot(1)$ herauskommt, wird der Schritt $(1)\to(2)$ nicht irgendwie "korrumpiert".


Ich bin mir da nicht so sicher, deshalb auch meine diesbezügliche Frage an die richtigen Mathematiler hier im Forum in meinem Beitrag No.33.

Wir haben hier einen anderen Fall wie etwa beim bekannten Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2.

Die Voraussetzung, das p un q dort teilerfremd sind ist keine notwendige Bedingung für eine der Operation während des Beweisganges - der Beweisgang ist korrekt sowohl unter der Voraussetzung 1) wie auch mit dem Ergebnis 3) - alle Operation sind korrekt sowohl unter der Voraussetzung p und q sind teilerfremd wie auch unter Anwendung des Ergebnissse p und q sind gerade und damit nicht teilerfremd.

Hier wäre der Beweisgang nur mit der Voraussetzung 1) korrekt während unter Anwednung des Ergebnisses der verwendete kleine Fermat nicht mehr gültig wäre!

Meiner Meinung nach müssen bei einem Widerspruchsbeweis alle durchgeführten Operationen und verwendete Sätze des Bewesganges ihre Gültigkeit sowohl unter Berücksichtigung der Voraussetzung wie auch unter Berücksichtigung des Ergebnisses beibehalten.

Was sagen die studierten Mathematiker dazu?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, eingetragen 2020-10-25


2020-10-24 16:52 - TinoRitter in Beitrag No. 41 schreibt:
Ist der Weg plausibel oder muss ich hier noch etwas anderes zeigen.

Bisher hatte ich deinen Text noch nicht von Anfang bis Ende gelesen. Das habe ich eben nachgeholt. Leider ist das Lesen anstrengend, ich musste mir nach meinem Geschmack zu viel selbst zusammenreimen.

Hängengeblieben bin ich dann in der Zeile nach Gleichung (11): Wieso ist $\operatorname{ggT}\left(A^{p-1},C^{p-1}\right)=1$?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2020-10-25


2020-10-19 22:07 - TinoRitter in Beitrag No. 38 schreibt:
@slash

Es geht mir hier nicht darum zu zeigen, für welche \(n > 1 \in \mathbb{N} \) die Gleichung \( x^n+y^n=z^n\) eine Lösung mit \( x,y,z \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) besitzt.
Es geht mir nur darum zu zeigen, dass für Lösungen mit Exponenten, die alle größer 2 sind und nicht gleich sein müssen, es immer einen gemeinsamen Primteiler der Basen gibt.

Dir ist aber hoffentlich klar, dass aus der Beal Vermutung sofort FLT folgt. 😄


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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dlchnr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, eingetragen 2020-10-25


2020-10-25 10:12 - zippy in Beitrag No. 43 schreibt:

Bisher hatte ich deinen Text noch nicht von Anfang bis Ende gelesen.


Ich denke, der Beweis scheitert allein schon daran, dass es, wie "DerEinfaeltige" und ich schon in Beitrag No.27 und No.24 geschrieben haben, im Allgemeinenen kein pB geben muss, für das, wie in der Zeile nach Gleichung (3) gefordert, die Bedingung min(x,y) >= pB erfüllt ist.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2020-10-25


2020-10-25 12:02 - dlchnr in Beitrag No. 45 schreibt:
Ich denke, der Beweis scheitert allein schon daran, dass, wie "DerEinfaeltige" und ich schon in in Beitrag No.27 und No.24 geschrieben haben, dass es im Allgemeinenen kein pB geben muss, für das, wie in der Zeile nach Gleichung (3) gefordert, die Bedingung min(x,y) >= pB erfüllt ist.

Das ist auf jeden Fall richtig.

Ich wüsste aber gern, ob der Beweis zumindest den Fall hinreichend kleiner Primteiler abdeckt.



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dlchnr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2020-10-25


2020-10-25 12:04 - zippy in Beitrag No. 46 schreibt:

Ich wüsste aber gern, ob der Beweis zumindest den Fall hinreichend kleiner Primteiler abdeckt.


Ok - deswegen wollte ich von den Mathematikern die in meinen Beiträgen Bei No.33, 39, 42 angerissene Frage bewertet wissen - für mein Dafürhalten muss der Beweisgang auch unter Berücksichtigung des Widerspruchsergebnisses korrekt sein!?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2020-10-25


2020-10-25 12:24 - dlchnr in Beitrag No. 47 schreibt:
deswegen wollte ich von den Mathematikern die in meinen Beiträgen Bei No.33, 39, 42 angerissene Frage bewertet wissen

In der Mathematik werden Fragen im Regelfall weniger durch das Anrufen von Autoritäten als durch Argumente und Beweise entschieden.

Nimm dir doch mal die Darstellung eines Widerspruchsbeweises aus der Wikipedia her und betrachte den Fall, dass die dortigen Aussagen $A$ und $B$ beide für "$p$ teilt weder $A$ noch $C$" stehen.
* Dann lässt sich aus $\Gamma\cup\{A\}$ wegen $A=B$ sofort $B$ ableiten.
* Außerdem lässt sich aus $\Gamma\cup\{A\}$ mittels des kleinen Satzes von Fermat und weiterer Schritte (von denen wir im Augenblick voraussetzen, dass sie keine Fehler enthalten) $\lnot B$ ableiten.
* Damit ist insgesamt die Gültigkeit von $\lnot A$ gezeigt.

Deine Beobachtung, dass die aus $\Gamma\cup\{A\}$ abgeleitete Aussage $\lnot B$ wegen $A=B$ einer Aussage aus $\Gamma\cup\{A\}$ widerspricht, ist richtig, tut aber nichts zur Sache, denn dadurch verschwindet das $A$ ja nicht aus $\Gamma\cup\{A\}$.



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dlchnr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, eingetragen 2020-10-25


2020-10-25 13:59 - zippy in Beitrag No. 48 schreibt:

In der Mathematik werden Fragen im Regelfall weniger durch das Anrufen von Autoritäten als durch Argumente und Beweise entschieden.


Offengestanden ist mir die mathematische Notation nicht so geläufig, dass ich mit ihr arbeiten könnte.

Mir war nur aufgefallen, dass bei allen Widerspruchsbeweisen, die mir so einfallen, der Beweisgang an sich "funktioniert", unabhängig davon, ob ich ihn mit A oder mit ¬A durchgehe - das ist hier nicht der Fall, hier funktioniert der Beweisgang nur mit A. Deshalb mein Ruf nach den Mathematikern, wie das formal ausschaut. Das Du offenbar zu denen zählst, war für mich aus Deinen ersten Meldungen nicht ersichtlich ;-).



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2020-10-25


2020-10-25 20:50 - dlchnr in Beitrag No. 49 schreibt:

Mir war nur aufgefallen, dass bei allen Widerspruchsbeweisen, die mir so einfallen, der Beweisgang an sich "funktioniert", unabhängig davon, ob ich ihn mit A oder mit ¬A durchgehe - das ist hier nicht der Fall, hier funktioniert der Beweisgang nur mit A.  


Ein Widerspruchsbeweis lässt sich im Allgemeinen nicht umkehren.
Ist eine Aussage falsch, so kann man aus ihr immer auch ihre Negation und damit einen Widerspruch herleiten (ex falso quod libet).
Die Negation ist in diesem Fall jedoch wahr und aus einer wahren Aussage lassen sich ausschließlich wahre Aussagen herleiten.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-09 13:02


@DerEinfaeltige @dlchnr @zippy @Kezer
@PhysikRabe @Slash @Triceratops @Red_ @traveller


Zunächst vielen Dank für eure Beteiligung. Ich habe alle Argumentationen gelesen und darüber nachgedacht.
Dazu habe ich die Beweisidee nun für $p_B \in \mathbb{P}$ beliebig ausgeweitet. Auch im logischen Schluss des Beweises habe ich meinen Gedankengang dokumentiert. Ich hoffe, der Ansatz ist nun nachvollziehbarer und leichter lesbar.

Danke shon mal allen, die sich hier beteiligen.

Hier also die Ausführung:









Download PDF-Version:

hier



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-09 21:12


Hatte versehentlich das OK Häkchen gesetzt. Daher diese Antwort



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, eingetragen 2020-11-09 23:03


Magst du auch noch kurz meine zwei Wochen alte Frage beantworten?

2020-10-25 10:12 - zippy in Beitrag No. 43 schreibt:
Wieso ist $\operatorname{ggT}\left(A^{p-1},C^{p-1}\right)=1$?



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-10 02:10


@zippy


Es wurde ja eingangs gezeigt, dass genau entweder



oder



gilt.


$p_B$ ist dabei ein beliebiger Primteiler von $B$.

$\textbf{Grundgedanken:}$

Nimmt man nun an es gilt Fall I., dann gilt



Dann sagt der kleine Satz von Fermat, dass dann schon kein $p_B$ Teiler von

$A^{p_B-1}$ und $C^{p_B-1}$ ist.

$\textbf{Argumentation 1:}$

Nimmt man hier einfach an, $A^{p_B-1}$ und $C^{p_B-1}$ hätten einen gemeinsamen Primteiler $q \neq p_B$ für alle $p_B$. Dann müsste dieser wegen
$A^x+B^y=C^z \Rightarrow q^x\cdot a^x +B^y=q^z \cdot c^z$ aber schon wieder Teiler von $B^y$ sein. Und damit auch Teiler von $B$. Dann gilt aber schon, irgend ein $p_{B}$ müsste $p_{B}=q$ sein. Das wäre ein Widerspruch zu "kein $p_B$ teilt $A^{p_B-1}$ und $C^{p_B-1}$".

$\textbf{Argumentation 2:}$
Spielt man das ganze für $p_A$ durch, kommt man zum Ergebnis, dass dann auch schon kein $p_A$ Teiler von $B^{p_A-1}$ und $C^{p_A-1}$ sein darf.

Spielt man das ganze für $p_C$ durch, kommt man zum Ergebnis, dass dann auch schon kein $p_C$ Teiler von $B^{p_C-1}$ und $A^{p_C-1}$ sein darf.

Da alles gleichzeitig gilt, sind unter dieser Annahme auch $A^{p_B-1}$ und $C^{p_B-1}$ teilerfremd.

Diese Argumentation habe ich in der Skizze nicht ausgeführt, um die Beweisskizze so kurz wie möglich zu halten.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, eingetragen 2020-11-10 19:03


Ok, das bedeutet, dass es im Abschnitt 2.4 nicht darum geht, speziell gegen den "Fall I." einen Widerspruchsbeweis zu führen, sondern ganz allgemein gegen die Negation der Beal Conjecture. Das ist kein Problem (schließlich ist es das Ziel des Ganzen), ich hatte nur die Einleitung zu Abschnitt 2.4 anders verstanden.

Mit diesem Wissen komme ich jetzt weiter, bleibe aber bei Gleichung (17) hängen: Aus $\operatorname{ggT}\left(A^{p_B-1},C^{p_B-1}\right)=1$ folgt, dass es eine Bézout-Darstellung$$ u\cdot C^{p_B-1}-v\cdot A^{p_B-1} = 1
$$gibt. Warum aber muss $u=s$ und $v=k$ sein?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-10 21:37


@zippy

Kannst Du konkreter sagen, was Du meinst?
Von Gleichung (16) zu Gleichung (17) wurde ja gezeigt, warum $s-k=1$ gelten muss.

Ob ich mit $v,u \in \mathbb{Z}$ argumentiere, oder mit $s,k \in \mathbb{Z}$ ist doch eigentlich egal.

Die gewählten Buchstaben sind doch nur eine Definitionsfrage.

Oder habe ich Deine Frage nicht verstanden?
Oder meinst Du, Du kommst ab der Zeile nach Gleichung (17) nicht weiter?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, eingetragen 2020-11-10 23:50


2020-11-10 21:37 - TinoRitter in Beitrag No. 56 schreibt:
Ob ich mit $v,u \in \mathbb{Z}$ argumentiere, oder mit $s,k \in \mathbb{Z}$ ist doch eigentlich egal.

$s$ und $k$ sind durch (13) bzw. (14) eindeutig definiert. Und daraus folgt durch einfaches Nachrechen die Gleichung (16), also$$ s\cdot C^{p_B-1}-k\cdot A^{p_B-1} = s-k \;.
$$ Ganz unabhängig von diesen Überlegungen folgt allein aus $\operatorname{ggT}\left(A^{p_B-1},C^{p_B-1}\right)=1$, dass es Zahlen $u$ und $v$ mit$$ u\cdot C^{p_B-1}-v\cdot A^{p_B-1} = 1
$$gibt. Ich sehe aber nicht, warum diese Zahlen $u$ und $v$ mit den zuvor definierten $s$ und $k$ übereinstimmen sollen.

2020-11-10 21:37 - TinoRitter in Beitrag No. 56 schreibt:
Von Gleichung (16) zu Gleichung (17) wurde ja gezeigt, warum $s-k=1$ gelten muss.

Auch warum $s-k=1$ gelten muss, ist mir noch nicht klar.

Wenn ich mich auf das beschränke, was am Anfang von Abschnit 2.4.2 bis einschließlich Gleichung (17) steht, könnte ich ja folgendes Zahlenbeispiel betrachten:$$ p_B=3\;,\quad A=5\;,\quad C=4
$$Dann wäre$$ A^{p_B-1}-1=24=p_B\cdot8\;,\quad
C^{p_B-1}-1=15=p_B\cdot5\;,
$$also $s=8$ und $k=5$. Gleichung (16) würde lauten$$ 8\cdot C^{p_B-1}-5\cdot A^{p_B-1} = 3 \;,
$$und wegen$$ 11\cdot C^{p_B-1}-7\cdot A^{p_B-1} = 1\
$$könnte man $u=11$ und $v=7$ wählen.

In diesem Zahlenbeispiel fallen $s$ und $k$ nicht mit $u$ und $v$ zusammen. Um dieses Beispiel auszuschließen, musst du noch irgendein Argument heranziehen, das mehr über $p_B$, $A$ und $C$ voraussetzt, als das, was am Anfang von Abschnitt 2.4.2 steht. Welches Argument ist das?



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-11 12:48


@zippy

$\textbf{Argument 1}$
Nach Gleichung (16) gilt stets, es muss unter der Annahme $s,k \in \mathbb{Z}$ geben, so dass gilt

$ s \cdot C^{p_B-1} - k \cdot A^{p_B-1}= s-k$.

$\textbf{Argument 2}$
Und mit  $ggT \left( C^{p_B-1}, A^{p_B-1} \right)=1$ muss es stets $u,v \in \mathbb{Z}$ geben, so dass auch gelten muss  

$u \cdot C^{p_B-1} -v \cdot A^{p_B-1}=1$.


$\textbf{Argument 1 $\wedge$ Argument 2}$
Dann müssen $s$ und $k$ so gwählt werden können, so dass gilt

$\frac{ s}{s-k} \cdot C^{p_B-1} - \frac{ k}{s-k} \cdot A^{p_B-1}=1$

$\textbf{Schluss}$
Dann müssen $u$ und $v$ schon darstellbar sein, wie folgt:

$u=\frac{ s}{s-k} \wedge v=\frac{ k}{s-k} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,  \frac{u}{v}=\frac{s}{k}  \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, s= k \cdot \frac{u}{v}$


Substituiert man nun $s$ in $ s \cdot C^{p_B-1} - k \cdot A^{p_B-1}= s-k$, diffidiert dann die Gleichung dann durch $k$ und multiplieziert sie mit $v$, folgt:

$ k \cdot \frac{u}{v} \cdot C^{p_B-1} - k \cdot A^{p_B-1}= k \cdot \frac{u}{v}-k \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, u \cdot C^{p_B-1} - v \cdot A^{p_B-1}=u-v $

Die Gleichung $ u \cdot C^{p_B-1} - v \cdot A^{p_B-1}=u-v $ ist hier Äquivalent zu $ u \cdot C^{p_B-1} - v \cdot A^{p_B-1}=1$ und zu $ s \cdot C^{p_B-1} - k \cdot A^{p_B-1}=s-k$.

Und damit kann bei gegebener Voraussetzung stets $s-k=u-v=1$ gewählt werden.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.59, eingetragen 2020-11-11 13:37


2020-11-11 12:48 - TinoRitter in Beitrag No. 58 schreibt:
Dann müssen $u$ und $v$ schon darstellbar sein, wie folgt:

$u=\frac{ s}{s-k} \wedge v=\frac{ k}{s-k} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,  \frac{u}{v}=\frac{s}{k}  \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, s= k \cdot \frac{u}{v}$

Du übersiehst, dass es keinen Grund gibt, warum $\frac s{s-k}$ und $\frac k{s-k}$ ganze Zahlen sein sollten.

2020-11-11 12:48 - TinoRitter in Beitrag No. 58 schreibt:
Und damit gilt bei gegebener Voraussetzung stets $s-k=u-v=1$.

Mein Zahlenbeispiel erfüllt doch diese Voraussetzung und zeigt das Gegenteil.



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.60, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-11 14:47


@zippy

Man kann auch ohne die Qotienten $u=\frac{ s}{s-k} \wedge v=\frac{ k}{s-k}$ argumentieren.

$\textbf{Argument 1}$

Mit  $ggT \left( C^{p_B-1}, A^{p_B-1} \right)=1$ muss es stets $u,v \in \mathbb{Z}$ geben, so dass auch gelten muss  

$u \cdot C^{p_B-1} -v \cdot A^{p_B-1}=1 \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, u \cdot (s-k) \cdot C^{p_B-1} -v \cdot (s-k) \cdot A^{p_B-1}=(s-k)$.

$\textbf{Argument 2}$

Nach Gleichung (16) gilt stets, es muss unter der Annahme $s,k \in \mathbb{Z}$ geben, so dass gilt

$ s \cdot C^{p_B-1} - k \cdot A^{p_B-1}= s-k$.


$\textbf{Argument 1 $\wedge$ Argument 2}$

Dann müssen $s$ und $k$ schon darstellbar sein, wie folgt:

$s=u \cdot (s-k)$ und $k=v \cdot (s-k)$ und dann gilt schon $\frac{s}{k}=\frac{u}{v} \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, s=k \cdot \frac{u}{v}$


Substituiert man nun $s$ in $ s \cdot C^{p_B-1} - k \cdot A^{p_B-1}= s-k$, diffidiert dann die Gleichung dann durch $k$ und multiplieziert sie mit $v$, folgt:

$ k \cdot \frac{u}{v} \cdot C^{p_B-1} - k \cdot A^{p_B-1}= k \cdot \frac{u}{v}-k \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, u \cdot C^{p_B-1} - v \cdot A^{p_B-1}=u-v $

Die Gleichung $ u \cdot C^{p_B-1} - v \cdot A^{p_B-1}=u-v $ ist hier Äquivalent zu $ u \cdot C^{p_B-1} - v \cdot A^{p_B-1}=1$ und zu $ s \cdot C^{p_B-1} - k \cdot A^{p_B-1}=s-k$.

Und damit kann bei gegebener Voraussetzung stets $s-k=u-v=1$ gewählt werden.

$\textbf{Zum Zahlenbeispiel}$

Dein Zahlenbeispiel mit $C=4$ geht davon aus, dass $c^z$ in einer Potenz von 2 dargestellt werden kann.

Das ist dann der Fall, wenn $\left( A=2 \right)^{x=y}+\left(B=2\right)^{x=y}=2^{x+1}$ gilt.

Dann ist A in keinem fall 5. Die Grundvoraussetzung ist ja stets die Bedingung, dass schon gilt $A^x+B^y=C^z$.Sonst komme ich ja gar nicht zu $ggT \left( C^{p_B-1}, A^{p_B-1} \right)=1$

Die Zahlen $C$ und $A$ können also nicht zufällig gewählt werden. Und wenn aus $A^x+B^y=C^z$ mit $B$ ungerade folgt $ggT \left( C^{p_B-1}, A^{p_B-1} \right)=1$ dann muss nicht umgekehrt gelten:

Aus $ggT \left( C^{p_B-1}, A^{p_B-1} \right)=1$ folgt $A^x+B^y=C^z$.



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2020-11-11 14:47 - TinoRitter in Beitrag No. 60 schreibt:
Dann müssen $s$ und $k$ schon darstellbar sein, wie folgt:

$s=u \cdot (s-k)$ und $k=v \cdot (s-k)$

Du benutzt hier das Argument, dass aus der Gleichheit$$ e_1\cdot C^{p_B-1} - f_1\cdot A^{p_B-1} =
e_2\cdot C^{p_B-1} - f_2\cdot A^{p_B-1}
$$folgt, dass auch $e_1=e_2$ und $f_1=f_2$ sein müssen.

Wie das Beispiel$$ 8\cdot 4^2 - 5\cdot 5^2 =
33\cdot 4^2 - 21\cdot 5^2
$$zeigt, ist dieser Schluss aber nicht zulässig.



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TinoRitter
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@zippy

Ich muss nachdenken :-)

Danke Zippy



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zippy
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2020-11-11 14:47 - TinoRitter in Beitrag No. 60 schreibt:
Die Grundvoraussetzung ist ja stets die Bedingung, dass schon gilt $A^x+B^y=C^z$.

Wenn wir davon ausgehen, dass die Beal Conjecture stimmt, gibt es natürlich keine Gegenbeispiele gegen diese Conjecture.

Aber wenn du in deinem Beweis eine Schlussfolgerung (1)$\implies$(2) verwendest und man kann einen Beispiel angeben, das (1) erfüllt, (2) aber nicht, dann ist diese Schlussfolgerung nicht korrekt.

In unserem Fall sind (1) die Eigenschaften von $p_B$, $A$ und $C$, auf die du dich in Abschnitt 2.4.2 bei der Ableitung von (17) beziehst. Diese Eigenschaften erfüllt mein Gegenbeispiel.

Wenn du dieses Gegenbeispiel entkräftigen willst, musst du konkret sagen, was du noch verwendest und wo du das verwendest.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.61 begonnen.]



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.64, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19 19:03


@zippy

es hat etwas länger gedauert. Dafür habe ich den Beweisversuch nun ausführlich ausgeführt. Das war auch nötig :-)

Der Beweis gilt immer noch als Versuch!!!!

Vielleicht ist ja was dran?

Hier auch der Link zum Download

hier

LG Tino














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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.65, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-20 10:56


@zippy
@all

Habe die Argumentation am Ende noch einmal ausgeführt, um meinen Gedankengang zu dokumentieren.
Wenn sich weitere Fragen ergeben, stellt sie bitte. Ich kann durchaus etwas übersehen haben.

LG
Tino

Ps: Danke allen, die sich an der Diskussion beteiligen.
Das Ding sieht kurz aus. Es liegt aber sehr viel Arbeit darin.

Die Grundidee war es, die Perspektive aus der eigentlichen Fragestellung auf eine analoge Fragestellung zu verschieben, die greifbar ist. Danach zusammenzufassen was man zeigen muss und was man in jedem Fall zeigen kann.  
Endlich galt es den kürzesten Weg vom Zeigbaren zum Ziel zu gehen.
Der logische Ansatz war es, Anstatt zu zeigen was gelten soll, alles was nicht gelten soll zum Widerspruch zu führen und auszuschließen.
Dann bleibt nur noch übrig, was gelten soll.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.66, eingetragen 2020-11-20 23:16


Bei der Ableitung der Gleichungen (28) und (29) gehst du von einer Gleichung der Form$$ e_1\cdot C^{p-1} - f_1\cdot A^{p-1} =
e_2\cdot C^{p-1} - f_2\cdot A^{p-1}
$$aus und schließt daraus auf $e_1=e_2$ und $f_1=f_2$.

Wir hatten aber schon in Beitrag Nr. 61 gesehen, dass dieser Schluss nicht zulässig ist. Das bedeutet: Deine Überlegungen sind von Gleichung (15) bis (27) korrekt, beginnend mit den Gleichungen (28) und (29) werden sie falsch.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.67, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-21 01:58


@zippy

Nemhmen wir an, v-u=1 und ich kann diesen Punkt klären. Lässt dann der Rest des Beweises fragen offen?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.68, eingetragen 2020-11-21 10:12


2020-11-21 01:58 - TinoRitter in Beitrag No. 67 schreibt:
Lässt dann der Rest des Beweises fragen offen?

Den Rest habe ich mir nicht mehr angesehen. Das halte ich aber auch nicht für sinnvoll, solange dieser zentrale Punkt nicht geklärt ist.



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.69, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-21 15:32


@zippy

Ich muss zunächst eine Logikfrage klären:

$A$ und $B$ seien Terme und zwischen $A$ und $B$ kann gezeigt werden, dass

$A=B$ gilt.



Man zeigt nun, mit $A=B$ gilt (Äquivalenzumformung)

$\left( A=B \right) \Leftrightarrow  \left(C=D \right) $

Es soll gezeigt werden, dass dann auch gilt $ \left( A=C=D \right) \wedge \left( B=C=D \right) $

Da es wegen $C=D$ genügt zu zeigen, dass $ \left( A=C\right) \wedge \left( B=C \right) $, wird D zunächst außer Acht gelassen.

Falls $A=C$ erhält man nun $ \left( A=C\right)  \Rightarrow  \left( E=G \right) $

Falls $B=C$ erhält man nun $ \left( B=C \right)  \Rightarrow  \left( F=G \right) $

$A=C$ und $B=C$ lassen sich also nach einem gleichen Term $G \neq 0$, mit $G \neq A$ und $G \neq B$ auflösen. Es gilt dabei auch $F \neq \left( A=B \right)$ und $E \neq \left( A=B \right)$.

Wenn nun aus dem Ansatz $E=F$ aber folgt, dass trotzdem

$\left( E=F \right)  \Leftrightarrow \left( A=B \right) $ gilt.

Hat man sich dann im Kreis gedreht, oder hat man dann schon gezeigt, dass

A=B=C=D gilt. Zu welchem Schluss kommst DU?

Vielen Dank für Deine Antwort vorab.

(Habe die Frage nochmal präziser formuliert, damit meine Frage verständlicher ist.)








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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.70, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 02:15






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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.71, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 02:38


@zippy
@all

Ok, dann mal ein ausführlicher Koeffizientenvergleich, der die angeführte Äquivalenz in Gleichung (28) und (29) beweist.


Gezeigt ist Gleichung (17), (19),(20) und (26) sind korrekt.

Genau ausgehend von diesen 4 Gleichungen wird gezeigt, dass folgende Äquivalenzen gelten:

$s \cdot \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot v -\theta = s-\theta $

$k\cdot  \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot u -\theta= k-\theta $


$\textbf{Argument 1}$

Gleichung (27) ist eine Äquivalenzumformung von Gleichung (20) nach der Substitution von Gleichung (26). Die Substitutionen werden gem. Gleichung (26) wie folgt gewählt

(links)  $-k \cdot v = \theta - s \cdot u$
(rechts) $s \cdot o = \theta + k \cdot v$

Dann folgt aus Gleichung (unnummeriert, direkt nach Gleichung (26))

$ \left( s  \cdot v -k \cdot v -s\right) \cdot C^{p-1}  = \left(  s  \cdot u -k \cdot u -k \right) \cdot A^{p-1}$

die Gleichung

$\left( s  \cdot v +\theta-s \cdot u -s\right) \cdot C^{p-1}  = \left(  k  \cdot v+\theta -k \cdot u -k \right) \cdot A^{p-1} $

und nach Äquivalenzumfomung folgt Gleichung (27)

$s \cdot \left( v-u\right) \cdot C^{p-1} - k\cdot  \left( v-u\right)\cdot A^{p-1}= \left( s-\theta \right) \cdot C^{p-1} -\left( k- \theta \right) \cdot A^{p-1}$ $\textbf{(I.)}$



$\textbf{Argument 2}$

Man weiß, dass mit Gleichung (19) gilt

$\left( s-k \right) \cdot v \cdot C^{p-1}  - \left( s-k \right) \cdot u \cdot A^{p-1} =s-k$

und mit Gleichung (17) weiß man, dass gilt

$s \cdot C^{p-1} - k \cdot A^{p-1}= s-k$

Dann gilt mit (19) und (17)

$s \cdot C^{p-1} - k \cdot A^{p-1}=\left( s-k \right) \cdot v \cdot C^{p-1}  - \left( s-k \right) \cdot u \cdot A^{p-1}$


$\textbf{Argument 3}$

Der Term $s \cdot C^{p-1} - k \cdot A^{p-1}$ lässt sich in Gleichung (27) durch seine Äquivalente Darstellung $\left( s-k \right) \cdot v \cdot C^{p-1}  - \left( s-k \right) \cdot u \cdot A^{p-1}$ in Gleichung (19) substituieren. Dann ist die Nachfolgende Gleichung mit Gleichung (27) Äquivalent.

$s \cdot \left( v-u\right) \cdot C^{p-1} - k\cdot  \left( v-u\right)\cdot A^{p-1}= \left( s-k \right) \cdot v \cdot C^{p-1}  - \left( s-k \right) \cdot u \cdot A^{p-1} + \theta \cdot A^{p-1}-\theta \cdot C^{p-1}$

Mit einer weiteren Äquivalenzumformung folgt nun

$s \cdot \left( v-u\right) \cdot C^{p-1} - k\cdot  \left( v-u\right)\cdot A^{p-1}= \left( \left( s-k \right) \cdot v -\theta \right)\cdot C^{p-1}  - \left( \left( s-k \right) \cdot u -\theta \right) \cdot A^{p-1}$ $\textbf{(II)}$

$\textbf{Argument 4}$

Die Koeffizienten für $C^{p-1}$ und $A^{p-1}$ auf beiden Seiten sind gleich, denn aus

$s \cdot \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot v -\theta$ für die Koeffizienten von $C^{p-1}$

und

$ k\cdot  \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot u -\theta$ der Koeffizienten von $A^{p-1}$

folgt nach Äquivalenzumformung jeweils wieder Gleichung (26) mit

$s \cdot u - k \cdot v = \theta$

$\textbf{Zwischenergebnis}$:

$s \cdot \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot v -\theta$ $\textbf{(III.)}$
$ k\cdot  \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot u -\theta$ $\textbf{(VI)}$

$\textbf{Fragestellung}$:

Man weiß nun, dass $\textbf{(I)}$,$\textbf{(II)}$, $\textbf{(III)}$ und $\textbf{(VI)}$ gilt. Die Frage ist, ob mit $\textbf{(I)}$ und $\textbf{(II)}$ auch gilt

$s \cdot \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot v -\theta = s-\theta $ $\textbf{(V)}$

und

$k\cdot  \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot u -\theta= k-\theta $ $\textbf{(VI)}$


$\textbf{Betrachtung von Gleichung (V)}$

Wenn $s \cdot \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot v -\theta = s-\theta $ dann müssen wegen $s \cdot \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot v -\theta $ folgende beiden Gleichungen gelten

1. $s \cdot \left( v-u\right)= s-\theta$

2. $\left( s-k \right) \cdot v -\theta = s-\theta \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,  \left( s-k \right) \cdot v = s  $

s aus Gleichung 2 in Gleichung 1 eingesetzt folgt sofort

$s \cdot \left( v-u\right)= \left( s-k \right) \cdot v -\theta$

und hieraus ergibt sich wieder die gezeigte Gleichung (26) nach Äquivalenzumformung.

$s \cdot u - k \cdot v = \theta$

Damit sind die Äquivalenzen der Gleichungen $\textbf{(V}$ gezeigt.

$\textbf{Betrachtung von Gleichung (VI)}$

Mit den Äquivalenzen aus Gleichung $\textbf{(V)}$ und Gleichung $\textbf{(I)}$ gilt auch Gleichung $\textbf{(VI)}$.

Man kann die Gültigkeit der Gleichung $\textbf{(VI)}$ auch analog dem Weg für Gleichung  $\textbf{(V)}$ zeigen.





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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.72, eingetragen 2020-11-22 11:20


Deine Argumentation läuft auf Folgendes hinaus:
  1. Wir haben eine Aussage $\mathcal A$, von der wir wissen, dass sie wahr ist. Außerdem haben wir eine Aussage $\mathcal B$, von der du zeigen möchtest, dass sie wahr ist.
  2. Du machst nun die Annahme, dass $\mathcal B$ wahr ist und leitest daraus eine Aussage $\mathcal C$ ab, von der wir wegen $\mathcal A\implies\mathcal C$ wissen, dass sie wahr ist.
  3. Dann schließt du daraus, dass auch die Aussage $\mathcal B$ wahr sein muss.
Aber das ist kein zulässiger logischer Schluss. Allein daraus, dass man aus einer Aussage eine wahre Aussage ableiten kann, folgt nicht, dass die ursprüngliche Aussage wahr sein muss.

In Beitrag Nr. 71 entspricht $\mathcal A$ allem, was vor der Überschrift "Fragestellung" steht. $\mathcal B$ entspricht den Gleichungen (V) und (VI) [es tragen bei dir zwei Gleichungen die Nummer (VI); ich gehe mal davon aus, dass an der ersten eigentlich (IV) stehen sollte]. $\mathcal C$ ist deine Gleichung (26). Die Annahme von $\mathcal B$ beginnt in deinem Text mit dem Satz "Wenn $s \cdot \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot v -\theta = s-\theta $ dann müssen $\ldots$".

Aus meiner Sicht erfüllen die Umformungen in den Abschnitten "Argument 1", "Argument 2", "Argument 3" und "Argument 4" keinen echten Zweck. Sie wirbeln nur so viel Staub auf, dass man den logisch unzulässigen Schluss leichter übersehen kann.



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.73, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 12:06


@zippy


$\textbf{A ist wahr}$

Es wurde in Gleichung (26) gezeigt, dass gilt:

$s \cdot u-k \cdot v = \theta$


$\textbf{B ist wahr}$

Es wurde gezeigt, dass gilt:

$s \cdot \left( v-u\right) \cdot C^{p-1} - k\cdot  \left( v-u\right)\cdot A^{p-1}= \left( \left( s-k \right) \cdot v -\theta \right)\cdot C^{p-1}  - \left( \left( s-k \right) \cdot u -\theta \right) \cdot A^{p-1}  \textbf{II}$


$\Rightarrow \textbf{Schluss mit Koeffizientenvergleich führt zu}$
 
Es gilt tatsächlich:

$s \cdot \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot v -\theta$

und

$k\cdot  \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot u -\theta$

weil die einfache Äquivalenzumformung beider Gleichungen, jeweils wieder

$s \cdot u-k \cdot v = \theta$

ergibt.

$\textbf{Fragestellung}$

Gilt dann auch schon

1. $k\cdot  \left( v-u\right)= k-\theta$

und

2. $\left( s-k \right) \cdot u -\theta= k-\theta   \,\,\, \Leftrightarrow  \,\,\, \left( s-k \right) \cdot u = k$



Antwort:

Ja, das Einsetzungsverfahren von $k$ in Gleichung 1. führt wieder zur wahren Aussage:

$s \cdot u-k \cdot v = \theta$


Ich verstehe nicht, was daran unlogisch sein soll?

Sag mal konkret, wo Du etwas klarer haben müsstest?

Vilen dank @zippy :-).



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.74, eingetragen 2020-11-22 13:54


2020-11-22 12:06 - TinoRitter in Beitrag No. 73 schreibt:
Es wurde in Gleichung (26) gezeigt, dass gilt:

$s \cdot u-k \cdot v = \theta$

Richtig.

2020-11-22 12:06 - TinoRitter in Beitrag No. 73 schreibt:
$s \cdot \left( v-u\right) \cdot C^{p-1} - k\cdot  \left( v-u\right)\cdot A^{p-1}= \left( \left( s-k \right) \cdot v -\theta \right)\cdot C^{p-1}  - \left( \left( s-k \right) \cdot u -\theta \right) \cdot A^{p-1}  \textbf{II}$

Ebenfalls richtig.

2020-11-22 12:06 - TinoRitter in Beitrag No. 73 schreibt:
$\Rightarrow \textbf{Schluss mit Koeffizientenvergleich führt zu}$
 
Es gilt tatsächlich:

$s \cdot \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot v -\theta$

und

$k\cdot  \left( v-u\right)=\left( s-k \right) \cdot u -\theta$

Diese beiden Gleichungen sind wahr.

Sie folgen aber nicht durch Koeffizientenvergleich aus (II). Darüber, dass so ein Koeffizientenvergleich nicht funktioniert, hatten wir oben doch schon mehrfach gesprochen.

2020-11-22 12:06 - TinoRitter in Beitrag No. 73 schreibt:
weil die einfache Äquivalenzumformung beider Gleichungen, jeweils wieder

$s \cdot u-k \cdot v = \theta$

ergibt.

Auch diese Gleichung ist wahr. (Das "weil" ergibt allerdings keinen Sinn.)

2020-11-22 12:06 - TinoRitter in Beitrag No. 73 schreibt:
$\textbf{Fragestellung}$

Gilt dann auch schon

1. $k\cdot  \left( v-u\right)= k-\theta$

und

2. $\left( s-k \right) \cdot u -\theta= k-\theta   \,\,\, \Leftrightarrow  \,\,\, \left( s-k \right) \cdot u = k$

Hier sind wir jetzt bei dem, was ich oben mit $\mathcal B$ bezeichnet habe.

2020-11-22 12:06 - TinoRitter in Beitrag No. 73 schreibt:
Antwort:

Ja, das Einsetzungsverfahren von $k$ in Gleichung 1. führt wieder zur wahren Aussage:

$s \cdot u-k \cdot v = \theta$

Und hier machst du den Schluss "weil aus $\mathcal B$ etwas Wahres folgt, muss $\mathcal B$ selbst wahr sein".

2020-11-22 12:06 - TinoRitter in Beitrag No. 73 schreibt:
Ich verstehe nicht, was daran unlogisch sein soll?

Weil eine Schlussregel "wenn aus einer Aussage etwas Wahres folgt, muss die Aussage selbst wahr sein" nicht existiert.

Betrachten wir doch mal die beiden Gleichungen$$\begin{align}
3\cdot4&=15\\ 2\cdot6&=15\;.\end{align}$$Wenn wir (2) in (1) einsetzen, erhalten wir die wahre Gleichung $3\cdot4=2\cdot6$. Bist du jetzt davon überzeugt, dass auch $3\cdot4=15$ und $2\cdot6=15$ wahr sind?



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.75, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 23:06


@zippy

Danke für Dein Engagement. Ohne Menschen wie Dich, wäre bestimmt nicht nur die Mathewelt ärmer.

Werde morgen konzentriert antworten.

Die Logikfragen sind unsagbar wichtig.

Danke Dir :-)



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TinoRitter hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
TinoRitter hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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