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  Unschlüssigkeit Definition Abgeschlossene Menge |
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Spedex
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 1098
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2020-10-19
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Hallo, als Definition einer abgeschlossenen Menge habe ich heute folgenden Satz gehört:
\(M\in\mathbb{R}\) ist abgeschlossen \(\Leftrightarrow\) \(M\) enthält mit jeder konvergenten Folge auch deren Grenzwert.
Bei dieser Definition gibt es es für mich allerdings irgendwie Unschlüssigkeiten.
Wenn wir uns beispielsweise folgende Menge anschauen \(\left(1,\infty\right)\) und beispielsweise eine Folge wie \(\left(a_n\right)=1+\frac{1}{n}\), dann konvergiert diese Folge doch innerhalb der Menge, der Grenzwert von \({lim}_{n\rightarrow\infty}1+\frac{1}{n}=1\) ist darin hingegen nicht enthalen.
Was verstehe ich hier falsch?
LG
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-19
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Wahrscheinlich meinst du $(1, \infty)$.
Was genau verstehst du nicht? Du hast doch hier bewiesen, dass $(1, \infty)$ nicht abgeschlossen ist.
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mathematikerlein
Wenig Aktiv
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 120
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-19
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Es geht aber um JEDE konvergente Folge. Betrachte mal $a + \frac{1}{n}$.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
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Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-19
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\quoteon(2020-10-19 16:08 - Spedex im Themenstart)
Wenn wir uns beispielsweise folgende Menge anschauen \(\left(a,\infty\right)\) und beispielsweise eine Folge wie \(\left(a_n\right)=1+\frac{1}{n}\), dann konvergiert diese Folge doch innerhalb der Menge,[...]
\quoteoff
Nein. Die Folge (d.h. ihre Folgenglieder) liegt in der Menge. "Konvergiert innerhalb der Menge" ist gleichbedeutend mit "hat einen Limes in der Menge". In deinem Beispiel ist \(\left(a_n\right)=\left(1+\frac{1}{n}\right)\) eine Folge in \(\left(1,\infty\right)\subset \mathbb{R} \), ihr Limes existiert aber nicht in dieser Menge. Du hast also eine Folge gefunden, die zwar in $\mathbb R$ konvergent ist, deren Limes aber nicht in der Menge liegt, d.h. sie konvergiert nicht in der Menge. Also ist besagte Menge nicht abgeschlossen.
Grüße,
PhysikRabe
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,
die Definition verlangt ja, dass der Grenzwert jeder konvergenten Folge in der Menge liegt. Bei deinem Beispiel trifft das auf alle Folgen aus \(M\) mit Grenzwert \(a\) nicht zu.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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Spedex
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 1098
Wohnort: Wien
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
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Hab das jetzt beim ersten Beitrag ausgebessert. Meinte natürlich eine Menge \(\left(1,\infty\right)\) und nicht \(\left(a,\infty\right)\).
Wenn wir uns jetzt dann doch die Menge \(\left(a,\infty\right)\) anschauen sowie eine Folge \(\left(a_n\right)=a+\frac{1}{n}\), dann ist die Menge trotzdem nicht abgeschlossen, nicht?
Was ist mit jeder konvergenten Folge gemeint? Also in Bezug auf das "jeder".
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
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Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-19
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\quoteon(2020-10-19 16:29 - Spedex in Beitrag No. 5)
Wenn wir uns jetzt dann doch die Menge \(\left(a,\infty\right)\) anschauen sowie eine Folge \(\left(a_n\right)=a+\frac{1}{n}\), dann ist die Menge trotzdem nicht abgeschlossen, nicht?
\quoteoff
Natürlich nicht. Die Folge konvergiert zwar in $\mathbb R$, aber ihr Limes $a$ liegt nicht in \(\left(a,\infty\right)\).
\quoteon(2020-10-19 16:29 - Spedex in Beitrag No. 5)
Was ist mit jeder konvergenten Folge gemeint? Also in Bezug auf das "jeder".
\quoteoff
Naja, "jede" eben. Alternativ kann man auch "alle" sagen. Kannst du genauer erklären, was dich daran verwirrt?
Sei $(a_n)$ eine Folge in $M\subset\mathbb R$ mit $\lim a_n = a \in \mathbb R$ (d.h., $(a_n)$ ist eine konvergente Folge, die in $M$ liegt). Wenn nun $a\in M$, dann konvergiert die Folge in $M$. Gilt dies nun für alle solchen Folgen $(a_n)$ (also Folgen mit den genannten Eigenschaften), dann ist $M$ abgeschlossen. (Die Umkehrung gilt ebenso.)
Grüße,
PhysikRabe
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hi,
\quoteon(2020-10-19 16:29 - Spedex in Beitrag No. 5)
Was ist mit jeder konvergenten Folge gemeint? Also in Bezug auf das "jeder".
\quoteoff
was das Wort halt bedeutet: es darf keine konvergente Folge in \(M\) geben, deren Grenzwert nicht in \(M\) liegt. Insbesondere liegt \(a\) nicht im Intervall \((a,\infty)\).
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]\(\endgroup\)
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Spedex
Wenig Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
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Aber ist es nicht synonym gebräuchlich, wie PhysikRabe schon gesagt hat , dass wenn eine Folge in einer Menge konvergiert, sie ja sowieso einen Grenzwert haben muss, der auch Teil der Folge ist?
\quoteon(2020-10-19 16:12 - PhysikRabe in Beitrag No. 3)
Nein. Die Folge (d.h. ihre Folgenglieder) liegt in der Menge. "Konvergiert innerhalb der Menge" ist gleichbedeutend mit "hat einen Limes in der Menge".
\quoteoff
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-19
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\quoteon(2020-10-19 16:40 - Spedex in Beitrag No. 8)
Aber ist es nicht synonym gebräuchlich, wie PhysikRabe schon gesagt hat , dass wenn eine Folge in einer Menge konvergiert, sie ja sowieso einen Grenzwert haben muss, der auch Teil der Folge ist?
\quoteoff
Teil der Folge schon, aber eben nicht Teil der Menge. Die Folgenglieder liegen alle in M, nur der Grenzwert nicht (der Grenzwert ist kein Folgenglied, also selbst nicht Teil der Folge!).
Gruß, Diophant
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PhysikRabe
Senior
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-19
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\quoteon(2020-10-19 16:40 - Spedex in Beitrag No. 8)
Aber ist es nicht synonym gebräuchlich, wie PhysikRabe schon gesagt hat , dass wenn eine Folge in einer Menge konvergiert, sie ja sowieso einen Grenzwert haben muss, der auch Teil der Folge ist?
\quoteoff
Vorsicht, das habe ich nicht gesagt. "Konvergiert in einer Menge" heißt, dass der Limes in der Menge liegt. Der Limes ist nicht notwendigerweise Teil der Folge. (Falls die Folge ab einem gewissen Index konstant wird, ist der Limes trivialerweise "Teil" der Folge. Aber im Allgemeinen ist das natürlich nicht so; siehe die Definition des Grenzwertes einer Folge!)
Nochmal zur Klarstellung: Sei $(a_n)$ eine Folge, und $M\subset\mathbb R$.
"$(a_n)$ ist eine Folge in $M$" bedeutet: $a_n \in M$ für alle $n$.
"$(a_n)$ ist konvergent" bedeutet: Es existiert $\lim a_n \in \mathbb R$.
"$(a_n)$ konvergiert in $M$" bedeutet: $(a_n)$ ist konvergent, und $\lim a_n \in M$.
Grüße,
PhysikRabe
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Spedex
Wenig Aktiv
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
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Ah, ok.
Danke euch für die Hilfe.
LG
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Spedex hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Spedex hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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