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Analysis » Integration » Differenzierbarkeit
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Universität/Hochschule Differenzierbarkeit
weini4820
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-20


Hallo! Ich soll von folgender Funktion zeigen, dass sie beliebig oft differenzierbar ist:

$f(x)=\int_0^\infty \frac{e^{-t}}{1+x^2t}dt$.

Um die Funktion zu vereinfachen, hab ich eine Hilfsfunktion $h(x)=\frac{1}{1+x^2}$ definiert. Dann ergibt sich die Funktion $f(x)=\int_0^\infty h(xt^{0.5})e^{-t}dt$

Wie zeige ich jetzt von dieser, dass sie differenzierbar ist? Wir haben das mit einem Integral noch nie gemacht.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-20


Hallo,

guck mal hier:




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Martin_Gal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-20


Darf der Satz von Lebesgue verwendet werden? Das wäre die natürlichste Variante. Formal ist der Beweis sehr einfach, aber du müsst irgendwie begründen, dass du den Grenzwert unter dem Integral nehmen darfst.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-21


Was genau du verwenden darfst, weiß ich leider nicht. Es wird aber alles erlaubt sein, was ihr bisher in der Vorlesung behandelt habt.


Der Term unter dem Integral ist für alle $x$ positiv. Das Integral konvergiert immer, da der Term zusätzlich noch kleiner/gleich $e^{-t}$ ist. Magst du den Term mal bitte nach $x$ ableiten?



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weini4820
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-29


Also ich habe mir dieses Beispiel nochmal angeschaut mit euren Ansätzen. Im Prinzip muss ich ja zuerst zeigen, dass das Integral überhaupt definiert ist. Wie mache ich das am besten?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-29


Hallo,

sei $g_x(t)$ der Integrand. So genügt es zu zeigen, dass $g_x$ stetig ist und dass
\[
\int_0^{\infty} |g_x(t)|\,\mathrm dt<\infty
\] gilt.



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weini4820
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-29


Dass $g_x$ stetig ist, da kann ich ja argumentieren, dass es eine Komposition stetiger Funktionen ist, somit stetig. Aber wie zeige ich, dass der Integrand $< \infty$ ist? Durch Abschätzen?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-29


2020-10-29 16:13 - weini4820 in Beitrag No. 6 schreibt:
 Aber wie zeige ich, dass der Integrand $< \infty$ ist? Durch Abschätzen?
Ja sicher :D Es genügt nicht, dass der Intgrand kleiner als "unendlich" ist, sondern das Integral muss es sein.



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weini4820
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-29


kann ich dann einfach sagen, dass $f(x) \leq Me^{-t}$ für eine Konstante $M$?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ich glaube, du denkst hier viel zu kompliziert.

Welchen Wert besitzt das Integral \(\int_0^{\infty}{e^{-t}} \on{dt}\)?

Und dann noch \(e^{-t}\) gegen \(\frac{e^{-t}}{1+x^2t}\) abschätzen (wobei der Integrationsbereich zu beachten ist) - fertig ist die Abschätzung.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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