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Funktionentheorie » Holomorphie » Beweis komplexe Analysis
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Universität/Hochschule J Beweis komplexe Analysis
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-22


Ich stehe gerade bei einem Beweis wohl absolut auf dem Schlauch. Es wird mit dem Buch "Complex Analysis" von Bak und Newman gearbeitet.

Es wird gezeigt, dass $x^2+y^2-2ixy$ kein analytisches Polynom ist.

Das wird über einen Widerspruch bewiesen, indem man folgendes annimmt:

\[
x^2+y^2-2ixy = \sum\nolimits_{k=0}^N a_k(x+iy)^k
\]
Man setzt $y=0$ und folgert:
\[
a_0+a_1x+(a_2-1)x^2+\cdots+a_Nx^N=0
\]
Jetzt steht im Buch:

"Setting $x=0$ gives $a_0=0$(das ist klar); dividing out by $x$ and again setting $x=0$ shows $a_1 = 0$, etc. We conclude that
\[
a_1 = a_3 = \cdots = a_N=0 \land a_2=1
\]
Ich sehe gerade echt nicht wie er das folgert...




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-22


Ein Polynom ist genau dann $0$, wenn alle Koeffizienten $0$ sind.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-22


Kann es sein, dass er einfach die Ableitung berechnet(das meint er wohl mit "dividing out")und das damit folgert ? Sprachlich fände ich das ziemlich verwirrend...



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-22


Also ein Ansatz via Ableitung ist möglich.
So wie es der Autor darstellt würde ich den Beweis als fehlerhaft bezeichnen, da er durch $x$ teilt und im Nachhinein $x=0$ setzt...

Aber vielleicht kennst du das Lemma 1 hier



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-22


2020-10-22 20:21 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Ein Polynom ist genau dann $0$, wenn alle Koeffizienten $0$ sind.

Ich glaube es geht hier eher um Polynomfunktionen und keine Polynome. Darfst mich aber gerne korrigieren.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-22


Der Autor möchte zeigen: Verschwindet für ein komplexes Polynom $p(x)=\sum_{k=0}^nc_k\,x^k$ die Polynomfunktion $x\mapsto p(x)$ für alle $x\in\mathbb R$, verschwinden auch alle Koeffizienten $c_k$, d.h. es ist $c_0=\cdots=c_n=0$.

[Und letzteres ist, wie Triceratops oben schon angemerkt hat, nichts anderes als die Definition des Nullpolynoms.]

Die Überlegung ist nun:
1. Es ist $p(0)=c_0=0$.
2. Daher ist $q(x):=p(x)/x$ wieder ein Polynom. (Das ist mit "dividing out" gemeint.)
3. Wegen $p(x)=x\cdot q(x)$ verschwindet $x\mapsto q(x)$ für alle $x\ne0$.
4. Da $x\mapsto q(x)$ als Polynomfunktion stetig ist, ist auch $q(0)=c_1=0$.
5. Daher ist $r(x):=q(x)/x$ wieder ein Polynom, und mit dem kann man wie beim 2. Schritt weitermachen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Vielen Dank



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