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  Beweis komplexe Analysis |
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Pter87
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 425
 |  Themenstart: 2020-10-22
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Ich stehe gerade bei einem Beweis wohl absolut auf dem Schlauch. Es wird mit dem Buch "Complex Analysis" von Bak und Newman gearbeitet.
Es wird gezeigt, dass $x^2+y^2-2ixy$ kein analytisches Polynom ist.
Das wird über einen Widerspruch bewiesen, indem man folgendes annimmt:
\[
x^2+y^2-2ixy = \sum\nolimits_{k=0}^N a_k(x+iy)^k
\]
Man setzt $y=0$ und folgert:
\[
a_0+a_1x+(a_2-1)x^2+\cdots+a_Nx^N=0
\]
Jetzt steht im Buch:
"Setting $x=0$ gives $a_0=0$(das ist klar); dividing out by $x$ and again setting $x=0$ shows $a_1 = 0$, etc. We conclude that
\[
a_1 = a_3 = \cdots = a_N=0 \land a_2=1
\]
Ich sehe gerade echt nicht wie er das folgert...
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-22
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Ein Polynom ist genau dann $0$, wenn alle Koeffizienten $0$ sind.
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Pter87
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-22
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Kann es sein, dass er einfach die Ableitung berechnet(das meint er wohl mit "dividing out")und das damit folgert ? Sprachlich fände ich das ziemlich verwirrend...
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Red_
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Dabei seit: 28.09.2016
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-22
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Also ein Ansatz via Ableitung ist möglich.
So wie es der Autor darstellt würde ich den Beweis als fehlerhaft bezeichnen, da er durch $x$ teilt und im Nachhinein $x=0$ setzt...
Aber vielleicht kennst du das Lemma 1 hier
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Red_
Aktiv 
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-22
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\quoteon(2020-10-22 20:21 - Triceratops in Beitrag No. 1)
Ein Polynom ist genau dann $0$, wenn alle Koeffizienten $0$ sind.
\quoteoff
Ich glaube es geht hier eher um Polynomfunktionen und keine Polynome. Darfst mich aber gerne korrigieren.
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zippy
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-22
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Der Autor möchte zeigen: Verschwindet für ein komplexes Polynom $p(x)=\sum_{k=0}^nc_k\,x^k$ die Polynomfunktion $x\mapsto p(x)$ für alle $x\in\mathbb R$, verschwinden auch alle Koeffizienten $c_k$, d.h. es ist $c_0=\cdots=c_n=0$.
[Und letzteres ist, wie Triceratops oben schon angemerkt hat, nichts anderes als die Definition des Nullpolynoms.]
Die Überlegung ist nun:
1. Es ist $p(0)=c_0=0$.
2. Daher ist $q(x):=p(x)/x$ wieder ein Polynom. (Das ist mit "dividing out" gemeint.)
3. Wegen $p(x)=x\cdot q(x)$ verschwindet $x\mapsto q(x)$ für alle $x\ne0$.
4. Da $x\mapsto q(x)$ als Polynomfunktion stetig ist, ist auch $q(0)=c_1=0$.
5. Daher ist $r(x):=q(x)/x$ wieder ein Polynom, und mit dem kann man wie beim 2. Schritt weitermachen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Pter87
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25
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