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Mathematik » Geometrie » Geradentreue der zentrischen Streckung
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Universität/Hochschule Geradentreue der zentrischen Streckung
traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-23


Hallo,

Wie beweist man die Geradentreue der zentrischen Streckung? Egal was ich versuche, irgendwo stosse ich immer wieder auf einen Strahlensatz, Ähnlichkeit oder Winkeltreue, was alles ja üblicherweise über die Geradentreue bewiesen wird.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-23

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Hallo traveller,

in welchem Rahmen bewegst du dich denn? Affine Räume über $\R$? Dann kann man nämlich Geraden als eindimensionale affine Unterräume auffassen, und zentrische Streckungen erhalten solche, weil es sich um affine Automorphismen (Affinitäten) handelt.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-23


Hallo,

Ich möchte alles so elementargeometrisch wie möglich halten um zu vermeiden, dass ich die Aussage irgendwo bereits benutze und damit ein Zirkelschluss besteht.

Ich definiere die zentrische Streckung mal über die Konstruktion: Um einen Punkt $P$ an einem gegebenen Streckzentrum $S$ mit dem Streckfaktor $k>0$ zentrisch zu strecken, messe man $\overline{SP}$, berechne $k\cdot\overline{SP}$ und trage diese Strecke auf der Halbgerade von $S$ durch $P$ ab.
Es soll gezeigt werden: Liegen $P$, $Q$ und $R$ auf einer Geraden, so tun dies auch $P'$, $Q'$ und $R'$.

Die Frage ist wohl, in welchem möglichst einfachen Axiomensystem man diese Definition formulieren kann.

Bette ich das Ganze etwa in ein Koordinatensystem ein mit Streckzentrum im Ursprung, so verwendet man doch bereits einen zweiten Strahlensatz wenn man nur schon $P(x|y)\rightarrow P'(kx|ky)$ benutzt...



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-24

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Elementargeometrische muss es ja gar nicht sein, um Kreisschlüsse zu vermeiden. Es reicht schon, wenn man von den anfänglichen Axiomen sich Schritt für Schritt vorarbeitet.
Du setzt auf alle Fälle schonmal eine gewisse Form von skalarer Multiplikation voraus, wenn du davon sprichst, die Strecke $k\cdot\overline{PQ}$ abzutragen. Und selbstverständlich brauchst du einen Begriff von Abtragbarkeit. Außerdem scheinst du auch bereits zu sein, kartesische Koordinatensysteme zu verwenden. Für alle drei bieten sich affine Räume an, denn sie bringen einen Vektorraum mit sich, der als Grundlage für ein Koordinatensystem dienen kann, und gleichzeitig eine skalare Multiplikation besitzt. Außerdem erfüllen affine Räume die Abtragbarkeitsregel, das heißt zu jedem Punkt $P$ und zu jedem Vektor $v$ gibt es genau einen Punkt $Q$, sodass $\overrightarrow{PQ}=v$. Der Vektor $v$ wäre in deiner Konstruktion dann einfach $k\cdot\overrightarrow{SP}$ (beachte dass es sich hier um einen Verbindungsvektor handelt, nicht eine Verbindungsstrecke).
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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24

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2020-10-24 00:00 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Außerdem scheinst du auch bereits zu sein, kartesische Koordinatensysteme zu verwenden.

Darauf würde ich lieber verzichten. Mir scheint, dass da schon einiges an Annahmen einfliesst, etwa: Man liesst die $y$-Koordinate eines Punktes ab, indem man eine Parallele zur $x$-Achse durch den Punkt legt und den Schnittpunkt auf der $y$-Achse sucht. Da stecken schon Begriffe wie Gerade, Parallelität und evtl. sogar der zweite Strahlensatz drin.

Man gebe einem Kind ein Lineal, einen Stift und ein Blatt Papier, auf welchem neben einem Streckzentrum $S$ Punkte $P$, $Q$ und $R$ gezeichnet sind, welche auf einer Geraden liegen (was mit dem Lineal nachgeprüft werden kann). Nun soll es die in Beitrag 2 beschriebene Konstruktion ausführen. Es wird feststellen, dass $P'$, $Q'$ und $R'$ auch wieder auf einer Geraden liegen.

Ich habe für die Formulierung dieser Aufgabe keine Koordinatensysteme, affine Räume, usw. gebraucht und hoffe, dass auch der Beweis ohne auskommen kann. Bei all den anderen Eigenschaften von zentrischen Streckungen wie Parallelen- und Winkeltreue ist dies schliesslich auch möglich, aber all diese benutzen bereits die Geradentreue.

Natürlich ist mir schon klar, dass in die obrige Konstruktion bereits diverse Annahmen einfliessen, und die kritische wird wohl sein, wie "Gerade" bzw. das "Lineal" definiert sind, bzw. was für ein Axiomensystem man dazu braucht. Aber die alten Griechen kannten diese ja auch schon ohne Koordinatensysteme oder affine Räume.
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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-24


Dann muss präzisiert werden, was du mit einem Streckungsfaktor meinst, denn wenn du auf affine Räume und Koordinatensysteme verzichten willst, dann wird es schwierig, eine Strecke algebraisch mit einer Zahl zu multiplizieren. Man müsste wohl geometrisch vorgehen. Aber die geometrische Multiplikation verwendet die Strahlensätze. Ich vermute also, dass du dich entscheiden musst: zentrische Streckungen so definieren, dass die Strahlensätze per Definition gelten, oder eine skalare Multiplikation auf algebraischem Wege einführen, womit du dann um affine Räume fast nicht herumkommst.



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24


Was muss ich grossartig einführen, wenn ein markiertes Lineal verwendet wird und die normale Multiplikation im Körper $(\mathbb{R},+,\cdot)$? Insbesondere, wieso benötige ich dort bereits ein Koordinatensystem, das ja schon mindestens zweidimensional sein müsste?

Oder was, wenn wir uns erstmal auf ganzzahlige Streckfaktoren beschränken? Dafür braucht man auch bei der Konstruktion keine Strahlensätze.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-24

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Man braucht für ein markiertes Lineal kein Koordinatensystem, das meinte ich nicht. Ich meinte, dass man mit einem Koordinatensystem zentrische Streckungen sehr leicht definieren könnte, was man jetzt eben anders machen muss.

Wie wäre es mit dem Parallelenpostulat: Zu jeder Gerade $g$ und zu jedem Punkt $P$, der nicht auf $g$ liegt, gibt es genau eine Gerade $h$, auf der $P$ liegt und die parallel zu $g$ ist. Dann versuche folgendes zu zeigen:

1. eine Gerade $g$, die durch das Streckungszentrum $S$ verläuft, wird durch zentrische Streckung auf sich selbst abgebildet.
2. Seien $P,Q$ zwei ungleiche Punkte, von denen auch keiner identisch zu $S$ ist, $g$ eine Gerade durch $S$, die parallel zu $PQ$ ist (existiert nach Parallelenpostulat). Dann ist auch $P'Q'$ parallel zu $g$, wobei $P',Q'$ die durch zentrische Streckung aus $P,Q$ entstandenen Punkte sind.

Dann gilt nämlich: Liegt nun ein weiterer Punkt $R$ auf der Geraden $PQ$ (also $PQ=PR$), so ist $P'R'$ nach Parallelenpostulat identisch zu $P'Q'$, denn beide verlaufen durch $P'$ und beide sind parallel zu $PQ=PR$. Das heißt insbesondere, dass $R'$ auf $P'Q'$ liegt, womit die zentrische Streckung geradentreu ist.
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-03 06:10

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Hallo,

Sorry für die späte Antwort.

2020-10-24 14:47 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 7 schreibt:
2. Seien $P,Q$ zwei ungleiche Punkte, von denen auch keiner identisch zu $S$ ist, $g$ eine Gerade durch $S$, die parallel zu $PQ$ ist (existiert nach Parallelenpostulat). Dann ist auch $P'Q'$ parallel zu $g$, wobei $P',Q'$ die durch zentrische Streckung aus $P,Q$ entstandenen Punkte sind.

Das dürfte der kritische Punkt sein. Wie folgt das?
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