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Logik, Mengen & Beweistechnik » Prädikatenlogik » Verwirrung um allgemeingültige Aussage
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Universität/Hochschule J Verwirrung um allgemeingültige Aussage
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-24


Hallo!

Ich bin gerade dabei substitutionen von logischen Termen und Formeln zu betrachten. Da bin ich auf dieses Beispiel hier gestoßen:

(Zur Notation: Sind $t$ und $s$ Terme (einer Sprache $\mathcal{L}$) und x eine Variable, dann ist $t_{s/x}$ ein neuer Term den man aus t gewinnt in den man alle vorkommen von x durch s ersetzt. Ähnlich gilt dies für Formeln aber nur für eine freie variable x.)

Beispiel:

"Nach dem Ersetzen kann die Erfüllbarkeit einer Formel in einer Struktur höchst verschieden sein. Zum Beispiel, falls $s = y$, kommt x nicht frei für s in $\varphi = \forall y(y \doteq x)$ vor, denn y wird nach dem Ersetzen gebunden. In der Tat ist $\varphi_{s/x} = \forall y(y \doteq y)$ eine allgemeingültige Aussage. Jedoch erfüllt das Element a der Struktur $\mathcal{A}$ die Formel $\varphi$ genau dann, wenn die Grundmenge $A$ die Einermenge {a} ist."

Meine Frage nun, wieso erfüllt das Element a der Struktur die Aussage nur wenn die Grundmenge nur aus a besteht? Würde nicht bei einer Menge mit einem weiteren Element die Aussage trotzdem stimmen? Sagen wir $\{a,b\}$? Weil $a \doteq a$ und $b \doteq b$. Oder interpretiere ich falsch, wie man in solch eine Aussage Elemente aus der Menge einsetzt oder diese Aussage auswertet?

Mfg



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24


Ich sehe gerade, dass ich den Satz falsch gelesen habe.... ich dachte bei der Einelementigen Menge geht es um die subtituierte Formel, aber es geht um die normale Formel $\varphi$... ich schließe den thread dann mal :P

Mein Fehler!

(Falls ein Moderator das liest kann er ihn gerne auch ganz löschen)



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MePep hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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