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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz und Divergenz zeigen
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Universität/Hochschule Konvergenz und Divergenz zeigen
Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-25


Hallo, mit der Namensfindung der Titel tue ich mir echt schwer. Verzeiht mir das bitte.

Folgende Aufgabe:


Wobei sich die Frage zuerst auf die erste Folge bezieht.
Wenn ich die Folge vereinfach ("vereinfache") komme ich auf:
\[\frac{4+4n-3n^2-5n^3}{1-n-n^2-n^3}\]
Ich kenne einen "Trick" zur Bestimmung des Grenzwertes. Wenn man nämlich das Glied mit der höchsten Potenz im Zähler als auch im Nenner heraushebt, erhaltet man lauter Terme welche gegen 0 konvertieren. Übrig bleibt nur noch \(-5\). Das ist dann der Grenzwert.
Damit habe ich den Grenzwert ermittelt, somit muss die Folge auch konvergent sein.
Fertig.

Nur gehe ich mal davon aus, dass das nicht der normale Lösungsweg sein soll.
Muss ich hier die Definition der Konvergenz anwenden?
Wieder mit einer Abschätzung?

LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

zur Folge \(a_n\): da hast du dich beim Verrechnen der Brüche vertan.

Tipp: es ist \((1-n)(1+n)=1-n^2\), also ist der rechte Nenner hier gleichzeitig der kleinste gemeinsame Nenner.

Wenn du es damit nochmal versuchst, bekommst du einen Bruchterm, bei dem im Zähler und im Nenner \(n\) maximal quadratisch vorkommt. Ausklammern von \(n^2\) und anschließendes Kürzen bringt dich hier weiter.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Aus: f(x=0)=1/x
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Hallo, danke für die Antwort.
Das habe ich übersehen, dass man \(1-n^2\) bereits als gemeinsamen Nenner nehmen kann.

Jetzt (sollte ich mich nicht verrechnet haben) komme ich auf:
\[\frac{5n^2+8n+4}{1-n^2}=\frac{5+\frac{8}{n}+\frac{4}{n^2}}{\frac{1}{n^2}-1}\]
Aber inwiefern mir das Herausheben und Kürzen nun etwas gebracht hat, weiß ich nicht. Geschweige denn, wie ich nun fortfahren soll.

LG



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-25


Hallo
 wenn du nur den GW bestimmen sollst, kannst du das mit den Nullfolgen in Z und N machen. Es kommt aber auf die Aufgabenstellung an, wie due die Konvergenz begründen musst, einfach mit den Nullfolgen oder durch Angabe  eines N(epsilon) meist reicht es wie du vorgegangen bist, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes in der Aufgabe steht.
 bis dann, lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-25 18:09 - Spedex in Beitrag No. 2 schreibt:
Das habe ich übersehen, dass man \(1-n^2\) bereits als gemeinsamen Nenner nehmen kann.

Jetzt (sollte ich mich nicht verrechnet haben) komme ich auf:
\[\frac{5n^2+8n+4}{1-n^2}=\frac{5+\frac{8}{n}+\frac{4}{n^2}}{\frac{1}{n^2}-1}\]


Ja, das passt jetzt.

2020-10-25 18:09 - Spedex in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber inwiefern mir das Herausheben und Kürzen nun etwas gebracht hat, weiß ich nicht. Geschweige denn, wie ich nun fortfahren soll.

Jetzt lässt du mal in Gedanken n gegen Unendlich gehen und schaust dir so an, was in dem rechten Term dann alles so gegen Null strebt. Dann steht der Grenzwert nämlich da.

Und die Konvergenz der Folge gegen diesen Grenzwert musst du dann wie gehabt wieder mit der Definition zeigen. Denke ich mal. Das musst du aber selbst entscheiden (das kommt ein wenig auf den Rahmen an, in dem diese Aufgaben gestellt sind). Und die Formulierung "Überprüfen Sie..." ist da auch nicht ganz eindeutig in meinen Augen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Hallo,
also ich will es jetzt mal mit der Definition probieren.
Sprich:
\[N\left(\varepsilon\right):\left|a_n-a\right|<\varepsilon\] \[\left|a_n-5\right|=\left|\frac{5n^2+8n+4}{1-n^2}-5\right|\] Da komme ich dann auf:
\[\frac{10n^2+8n-1}{1-n^2}\] Und da ist dann auch schon Ende im Gelände für mich.
Kann ich das irgendwie abschätzen? Kann man das überhaupt abschätzen? Vermutlich schon, aber ich kann mir nicht vorstellen wie.

Könnt ihr mir hier weiterhelfen?

LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

der Grenzwert ist hier aber nicht \(5\), sondern \(-5\). Probiere es damit nochmal.

Das Abschätzen wird hier auch etwas anspruchvoller werden als bei der letzten Aufgabe. Ich gebe mal zwei Hinweise:

- Schätze den Zähler zunächst so nach oben ab, so dass man mit einem Faktor des Nennerterms kürzen kann
- Ersetze dann im Nenner die -1 geeignet durch ein Vielfaches von n.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Hey, das mit dem Grenzwert hatte ich übersehen.

Also, wenn ich deinen ersten Hinweis richtig interpretiert habe, komme ich auf:
\[\frac{8n+9}{1-n^2}<\frac{\left(n+1\right)\cdot9}{\left(1-n\right)\cdot\left(1+n\right)}=\frac{9}{1-n}\]
Aber im zweiten Hinweis steht dann etwas von \(-1\) und bei mir kommt meines Wissens nach keine \(-1\) vor.

LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-25


Hallo,

packe das ganze einmal - wie definiert- in Betragsklammern. Dann kannst du im Nenner zunächst die Vorzeichen umkehren (warum?). Dann kann man die Betragsklammern wieder weglassen (wieder: warum?), und schlussendlich kommt dann der fragliche Hinweis zum Tragen



Gruß, Diophant



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Ok, das Problem ist, dass ich weder weiß, warum das den Nenner mit -1 multiplizieren darf und es keinen Unterschied macht, noch weiß ich, was mit dem zweiten Tipp gemeint ist.

Bezüglich dem Betrag:

Ich meine, jeder Schritt ist schlussendlich an sich betrachtet zulässig.
\(\frac{9}{1-n}\) ist das gleiche wie \(\left|\frac{9}{1-n}\right|\), \(\left|\frac{9}{1-n}\right|\) ist das gleiche wie \(\left|\frac{9}{-1\cdot\left(1-n\right)}\right|\), \(\left|\frac{9}{-1\cdot\left(1-n\right)}\right|\) ist das gleiche wie \(\left|\frac{9}{-1+n}\right|\), \(\left|\frac{9}{-1+n}\right|\) ist das gleiche wie \(\frac{9}{-1+n}\). Denk ich mal 🙃.
Nur bei \(\left|\frac{9}{1-n}\right|=\left|\frac{9}{-1\cdot\left(1-n\right)}\right|\) bin ich mir nicht sicher.

Aber da liege ich wahrscheinlich sowieso generell falsch.

Das mit dem Hinweis bleibt bestehen, also das ich nicht kapier, was damit gemeint ist.
Ein Vielfaches von n...?

LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ich hatte gemeint: packe das ganze von Anfang an in Betragsklammern. Nur so ist es definiert. Für den Vorzeichenwechsel nutze \(|a-b|=|b-a|\).

Und denke hier über gegebene Hinweise gründlicher nach.

(Es wird hier von dir grundsätzlich keine sofortige Rückmeldung erwartet.)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Ok, ich habe mir die Abschätzung jetzt nochmal intensiv angeschaut.
Also, bei der ersten Abschätzung komme ich auf:
\[\left|\frac{8n+9}{1-n^2}\right|=\left|\frac{8n+9}{n^2-1}\right|<\left|\frac{9\cdot\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)\cdot\left(n-1\right)}\right|=\left|\frac{9}{n-1}\right|=\frac{9}{n-1}\]
Ist also wieder das gleiche, aber mit anderer "Begründung".

So, jetzt kommt das wichtige. Diophant meinte ja, ich so den Term \(-1\) durch ein geeignetes Vielfaches von n ersetzen.
Wenn ich das mit Vielfaches richtig verstanden habe, habe ich eigentlich alles durchprobiert:
\[-1\rightarrow x\cdot n,-1\rightarrow\frac{n}{x},-1\rightarrow-x\cdot n\] Edit: Siehe weiter unten

Aber nichts davon erfüllt dann die Ungleichung, wenn ich mich nicht vertue.
Wenn ich beispielsweise für \(-1\) \(4n\) einsetze, dann komme ich auf:
\[\frac{9}{n-1}<\frac{-3}{n}\] Das kann ja nicht stimmen.

Wenn ich ein negatives \(n\) einsetze, steht schlussendlich eine größere Zahl im Zähler. Damit ist die Ungleichung nicht erfüllt.

Wenn ich \(-1\) ersetze mit: \(-1\rightarrow\frac{n}{2}\), dann kommt tatsächlich eine Ungleichung raus, welche stimmt. Für \(n>1\).Aber ob die mir was hilft, weiß ich nicht. Grundsätzlich musste ich dann ja das so groß wie möglich aber kleine \(1*n\) abschätzen.
Möchte ich jetzt nicht weiter erläutern weil es sowieso sicher falsch ist.
Ist doch ein Vielfaches von n möglich, welches ich nicht sehe?

LG und gute Nacht.





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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-25


Hallo

Mit n/2  bist du auf men richtigen Weg. Kennst du dich mit Nullfolgen aus?

Gruß Caban



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-10-25 23:39 - Caban in Beitrag No. 12 schreibt:
Mit n/2  bist du auf men richtigen Weg. Kennst du dich mit Nullfolgen aus?

Nein. Mit \(-n/2\) ist man hier auf dem richtigen Weg, wenn man die \(-1\) ersetzen möchte. Man muss hier ja stets nach oben abschätzen, also muss der Nenner kleiner werden.


Hier nochmal die Rechnung im Zusammenhang:

\[\ba
\left|\frac{(n+2)^2}{1-n}-\frac{n^3}{1-n^2}+5\right|&=\left|\frac{5n^2+8n+4}{1-n^2}+5\right|\\
\\
&=\left|\frac{8n+9}{1-n^2}\right|\\
\\
&=\left|\frac{8n+9}{n^2-1}\right|\\
\\
&=\frac{8n+9}{n^2-1}\quad\text{(da der Inhalt der Betragsklammern jetzt positiv ist)}\\
\\
&<\frac{9n+9}{n^2-1}\\
\\
&=\frac{9}{n-1}\\
\\
&\le\frac{9}{n-\frac{n}{2}}\quad\text{("kleiner gleich", da die Folge theoretisch mit dem Startindex n=2 beginnen kann)}\\
\\
&=\frac{18}{n}<\varepsilon\quad\text{(18/n ist eine bekannte Nullfolge, jetzt kann man gegen}\ \varepsilon\ \text{abschätzen)}
\ea\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26


Hallo Caban,
also ich kenn mich zumindest so weit mit Nullfolgen aus, dass ich weiß, dass die Folge \(\frac{18}{n}\) gegen 0 konvertiert.
Folglich sollte gelten, wenn ich mich nicht täusche:
\[\frac{9}{n-1}<\frac{9}{n-\frac{n}{2}}=\frac{9}{\frac{n}{2}}=\frac{18}{n}\le\frac{18}{N\left(\varepsilon\right)}<\varepsilon\] \[n>1,n\geq N\left(\varepsilon\right)\]
Was sagts du dazu?  /  Was sagt ihr dazu?

Edit: Ich habe diesen Beitrag vor Beitrag Nummer 13 erstellt. Die Frage, ob das passt, hat sich jetzt glaube ich erübrigt.

Liebe Grüße und Vielen Dank für die Hilfe und das Durchhaltevermögen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-10-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-26 09:28 - Spedex in Beitrag No. 14 schreibt:
Hallo Caban,
also ich kenn mich zumindest so weit mit Nullfolgen aus, dass ich weiß, dass die Folge \(\frac{18}{n}\) gegen 0 konvertiert.
Folglich sollte gelten, wenn ich mich nicht täusche:
\[\frac{9}{n-1}<\frac{9}{n-\frac{n}{2}}=\frac{9}{\frac{n}{2}}=\frac{18}{n}\le\frac{18}{N\left(\varepsilon\right)}<\varepsilon\] \[n>1,n\geq N\left(\varepsilon\right)\]
Was sagts du dazu?  /  Was sagt ihr dazu?

Die Abschätzung \(\frac{9}{n-1}<\frac{18}{n}\) darf man so nicht schreiben, da der Term \(n/2\) für \(n=2\) den Wert \(1\) annimmt. Das muss man also mit einer "\(\le\)"-Relation machen.

Das \(N(\varepsilon)\) benötigst du hier eigentlich nicht, da ist nicht danach gefragt (außer, du hättest Teile der Aufgabenstellung nicht gepostet).

Eine komplette Musterlösung mit einigen Kommentaren steht in Beitrag #13.


Gruß, Diophant  
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26


Ok, ich möchte noch etwas hinten dran fügen, was daran liegt, dass die Angabe bereits in diesem Thread vorhanden ist.
Und zwar würde ich gerne die Divergenz der Folge \(d_n\) mittels Abschätzung zeigen.

Keine Frage, es würde wieder eine einfache Methode geben, die Divergenz zu zeigen:
\[\frac{4n^3-2n+7}{n^2+2n+1}=\frac{n^2\cdot\left(4n-\frac{2}{n}+\frac{7}{n^2}\right)}{n^2\cdot\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}=4n\] Da ja die Ausdrücke \(\frac{2}{n}\), \(\frac{7}{n^2}\), \(\frac{1}{n^2}\) gegen 0 konvertieren.
Aber wir gehen mal davon aus, dass das nicht ausreichend ist. Angenommen man kann das überhaupt geeignet abschätzen 🙂.

Ich bin jedenfalls vergeblich daran gescheitert, hab viel durchprobiert.
Mein Grundgedanke. Ich wollte zeigen, dass meine Folge größer ist als eine divergente Folge.
Also zum Beispiel so:
\[\frac{4n^3-2n+7}{n^2+2n+1}>n\] Da \(n\) divergent ist.
Aber da muss man ja erstmal hinkommen.
Ich hab sämtliche Sachen ausprobiert.
Zum Beispiel so:
\[\frac{4n^3-2n+7}{n^2+2n+1}>\frac{4n^3-2n}{n^2+2n}>\frac{2\cdot\left(2n^3-n\right)}{2\cdot\left(2n^2+n\right)}=\frac{2n^3-n}{2n^2+n}>\frac{n^3-n}{n^2+n}\]
Oder so:
\[\frac{4n^3-2n+7}{n^2+2n+1}>\frac{4n^3-2n}{n^2+2n}>\frac{-1\cdot(4n^3-2n)}{n^2+2n}=\frac{-4n^3+2n}{n^2+2n}=\frac{2n\cdot\left(-2n^2+1\right)}{2n\cdot\left(\frac{n}{2}+1\right)}=\frac{-2n^2+1}{\frac{n}{2}+1}=\frac{-4n^2+2}{n+1}>\frac{-4n^2+2}{n}\]
Aber das bringt sich alles nichts. Mein Hauptproblem, vor allem bei ersten Versuch, ist die Tatsache, dass im Zähler \(-n\) steht und im Nenner \(+n\). Da weiß ich dann nicht, wie ich das mittels Abschätzung wegbekomme.

Habt ihr Vorschläge?

Liebe Grüße



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-10-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

einen Bruch kann man verkleinern, indem man seinen Zähler verkleinert und/oder den Nenner vergrößert. Das hast du ja in Teilen schon versucht.

(Es war übrigens nicht schlau, das Binom im Nenner auszumultiplizieren).

Hier könnte man beispielhaft folgendermaßen vorgehen:

\[\ba
\frac{4n^3-2n+7}{(n+1)^2}&>\frac{4n^3-2n}{(n+1)^2}\\
\\
&\ge\frac{4n^3-2n^3}{(n+1)^2}\\
\\
&=\frac{2n^3}{(n+1)^2}\\
\\
&\ge\frac{2n^3}{(n+n)^2}\\
\\
&=\frac{n}{2}\\
\ea\]
Mache dir die einzelnen Schritte klar. Ich habe das absichtlich ziemlich ausführlich gerechnet, da kann man in der Praxis auch den einen oder anderen Schritt zusammenfassen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Caban
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PrinzessinEinhorn
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Hallo,

ich habe mir deine untenstehende Rechnung nicht im Detail angesehen.
Jedenfalls ist erstmal die Idee ja nicht verkehrt die Divergenz zu zeigen, indem du gegen etwas divergentes nach unten abschätzt.

Ein paar Kommentare:

1. Am Ende hast du ein Problem mit einem negativen Vorzeichen. Mir ist eigentlich gar nicht klar, wie du auf dieses Vorzeichen kommst. Auch im entsprechenden Rechenschritt nicht.

Worauf du natürlich bei diesem Vorzeichen achten musst ist, dass wenn du viel zu grob abschätzt, dann kann es falsch werden.

Mal ein ganz primitives Beispiel.

Nimm die konstante Folge $a_n=1$.
Sicherlich ist $-(n+1)\leq 1$ für alle $n\in\mathbb{N}$ und die Folge b_n=-n-1 ist sicherlich divergent (uneigentlich konvergent) gegen $-\infty$.

Das heißt jetzt aber natürlich nicht, dass die konstante Folge divergiert, was natürlich quatsch ist.
Man muss bloß aufpassen, dass man sich im 'Rahmen' (wie ist die Folge eingeschränkt) bewegt.

Etwa wenn für die Folgenglieder gilt $0\leq a_n$.

Denn eine stets nichtnegative Folge gegen etwas negatives nach unten abzuschätzen ist natürlich keine Kunst. Helfen tut das aber nicht.

Das ist ja gerade spannend, wenn man das Sandwich-Lemma benutzen möchte.

Als nächstes:

Du machst zu viel auf einmal.

Deine erste Abschätzung:

$\frac{4n^3-2n+7}{n^2+2n+1}>\frac{4n^3-2n}{n^2+2n}$

Lässt du im Zähler die $7$ fallen, wird der Bruch sicherlich kleiner.
Nimmst du im Nenner hingegen die $1$ weg, dann wird dein Bruch dadurch erstmal größer. Das wird hier wohl keine Rolle spielen, aber im allgemeinen ist es nicht richtig.

Es ist $n^2+2n+1\geq n^2+2n$ also $\frac{1}{n^2+2n+1}\leq\frac{1}{n^2+2n}$.

Das heißt wenn du den Zähler nicht abgeändert hättest, dann wäre deine Ungleichung falsch.

Du solltest beim Abschätzen also am besten Zähler und Nenner einzeln abschätzen, und nicht beides gleichzeitig. Das ist verwirrend.

Ansonsten:

Wenn du $\frac{4n^3-2n+7}{n^2+2n+1}>n$ zeigen willst, dann geht das auch durch eine direkte Rechnung.

Der Nenner ist immer positiv, also gilt die Ungleichung genau dann wenn

$4n^3-2n+7>n(n^2+2n+1)\Leftrightarrow 4n^3-2n+7 > n^3+2n^2+n$

Jetzt alles auf eine Seite bringen

$3n^3-2n^2-3n-7>0$

Das ist sicherlich nicht richtig für alle $n$. Aber wenn $n$ groß genug wird dann schon. Für die Divergenz ist das natürlich ausreichend.

Am Ende hast du dann also eine Aussage

$\frac{4n^3-2n+7}{n^2+2n+1}>n$ für alle $n\geq N$.

Dieses $N$ kannst du natürlich bestimmen. Es muss nicht mal das kleinste sein (das wäre wohl N=2). Auch das könntest du berechnen, ist aber nicht notwendig. Wichtig ist nur, dass die Abschätzung irgendwann gilt, und dann für jedes größere $n$ ebenfalls.




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]



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Sehr gut.

Vielen Dank für die ganzen Antworten.
Ich habe die Rechenschritte von Diophant und Caban nachvollzogen.
Wirklich zwei gute Abschätzungen.

Danke auch PrinzessinEinhorn für die Erläuterungen.
Interessanter Lösungsweg mit der "direkten" Lösung.

Liebe Grüße



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PrinzessinEinhorn
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Interessanter Lösungsweg mit der "direkten" Lösung.

Ich wollte damit nur darauf hinweisen, dass eine Lösung nicht immer 'fancy' sein muss, sondern auch recht banal sein kann, wenn man keine gute Idee hat. :)

Mathematik ist natürlich 'rechnen durch nachdenken vermeiden'.

Die direkten Abschätzungen sind natürlich deutlich schöner, als die skizzierte Rechnung, man sollte aber bei der ganzen Mathematik nicht vergessen, dass ein 'Beweis durch Rechnung' ebenfalls eine Lösung sein kann.

Wenn man dann eine Lösung gefunden hat, kann man sich eine bessere überlegen.

(Wie beim Schach. Wenn du einen guten Zug gefunden hast, such einen besseren...)



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