Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Drehimpuls von Teilchen auf Möbiusband
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Drehimpuls von Teilchen auf Möbiusband
Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 398
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-27


Hallo,

wenn man ein Teilchen unter Möbiusband Randbedingungen betrachtet dann ist der Drehimpuls nicht erhalten oder? Ist dies gegeben durch die Tatsache dass sich der Drehimpuls hier in seiner Richtung ändert? Unter Zylinder Randbedingungen ist ja beispielsweise Drehimpuls Erhaltung gegeben.

VG
Physics




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11194
Herkunft: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27


Hallo
 was soll denn Drehimpuls unter Möbius oder Zylinderrandbedingung sein?
lul


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1192
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-28


Hallo Physics,

das Möbiusband ist eine nicht orientierbare Mannigfaltigkeit. Das heißt, es gibt keine konsistente Möglichkeit, an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit eine Orientierung einer Menge von Tangentialvektoren zu definieren. Der Drehimpuls ist als Kreuzprodukt (oder in der Situation von Mannigfaltigkeiten als Dachprodukt) zweier Vektoren jedoch explizit von deren Orientierung abhängig. Ich würde deshalb nicht nur die Drehimpulserhaltung in Frage stellen, sondern sogar einen Schritt früher ansetzen und vermuten, dass es auf einem Möbiusband gar keinen sinnvoll definierten Drehimpuls geben kann.

Viele Grüße
Vercassivelaunos



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1923
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}} \)
2020-10-28 09:48 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:
und vermuten, dass es auf einem Möbiusband gar keinen sinnvoll definierten Drehimpuls geben kann.

Die fehlende Orientierbarkeit verhindert eine Identifiation von $\Lambda^2$ mit $\Lambda^0=\mathbb R$ (in einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit ist der übliche Drehimpuls ein Pseudoskalar), aber man kann ja in $\Lambda^2$ bleiben und den Drehimpuls als antisymmetrische $2\times2$-Matrix definieren: $L_{ij}=x_i\,p_j-x_j\,p_i$

Mir scheint dieser Drehimpuls aber genauso wenig erhalten zu sein wie der auf einem Zylinder.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 398
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28


Danke für eure Beiträge. Dann versuch ich mein Glück mit der antisymmetrischen Matrix. Kannst du elaborieren wieso ich diese verwenden darf?

Kann ich um zu zeigen dass keine Drehimpuls-Erhaltung vorliegt ebenso mit der antisymmetrischen Matrix arbeiten oder wie gehe ich da vor?

VG
Physics



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
moep
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.06.2006
Mitteilungen: 1751
Herkunft: karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-28


Um die Anfangsfrage adaequat zu beantworten, sollten wir zunaechst wissen, was ueberhaupt mit "Drehimpuls" im Anfangsbeitrag gemeint ist. Der Witz an der Sache ist, dass je nach Ausgangspunkt die Antwort ja oder nein lauten kann. Anders gesagt: Es haengt davon ab, was du verallgemeinern willst, das im 3-dim. euklidischen Fall zu dem Konzept, das du als Drehimpuls bezeichnest, reduziert.

Wenn man Drehimpuls als Charakterisierung von globalen Schnitten der Mannigfaltigkeit sieht, die unter der lokalen Rotationsgruppe in irreduziblen Darstellungen transformieren (das ist nichts anderes als die klassische Variante vom quantenmechanischen Spin), dann gibt es durchaus eine Verallgemeinerung von Drehimpuls auf nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten. Hier reden wir eben nicht mehr von SO(n) Darstellungen, sondern nur noch von O(n) Darstellungen. Im konkreten Fall des Moebius-Streifens geht es also um die Darstellungstheorie von O(2) im Vergleich zu der von SO(2). Und diese ist recht einfach, und entspricht mehr oder weniger der Intuition: eine Darstellung von O(2) ist quasi eine Darstellung von SO(2), wobei das Vorzeichen keine Rolle spielt. Mit anderen Worten: der Betrag des "ueblichen" (lokalen) Drehimpulses ist erhalten, aber nicht die Richtung; das hast du ja bereits im ersten Post erwaehnt.

Gruss,
moep



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 398
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28


Abend moep,

also ich habe die Stationäre Schrödinger-Gleichung unter Möbiusband Randbedingungen gelöst auf der x-y-Ebene auf dem Gebiet [0,L]x[0,L], sprich \(\Psi(x,y)=\Psi(x+L, -y)\). Dadurch kam es dann zu Quantisierungen der Wellenzahlen. Nun würde ich gerne mit den bereits gefundenen Wellenfunktionen Drehimpuls sowie Impulserwartungswerte berechnen und zusätzlich zeigen ob Drehimpuls/Impulserhaltung auf dem Möbiusband gilt. Mir ist nicht ganz klar wie ich den Erwartungswert des Drehimpuls es berechnen soll wenn hier im Prinzip ja ein zweidimensionales Problem vorliegt. Speziell verstehe ich nicht mal wieso es hier überhaupt sinnvoll ist von einem Drehimpuls zu reden.

VG
Physics



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
moep
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.06.2006
Mitteilungen: 1751
Herkunft: karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-29


Okay, wenn die Aufgabe so gestellt ist, wird hoechstwahrscheinlich erwartet, dass du einfach den Drehimpulsoperator $\mathbf{L} = \vec{x} \times \vec{p}$, wie ihr den sonst definiert habt, benutzt. In 2 Dimensionen wuerde man auf dem Level vermutlich $\mathbf{L} = \epsilon_{ij} \vec{x}_i \vec{p}_j$ benutzen, was mehr oder weniger dem entspricht was zippy geschrieben hat. Ich hab die Rechnung jetzt nicht gemacht, aber ich geh stark davon aus, dass diese Groesse eben nicht erhalten ist, sondern nur der Betrag.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 398
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-05


Hey moep,

hier nochmal eine recht späte Rückmeldung. Sprich ich habe eine antisymmetrische Matrix vorliegen in der Form

\(
\hat{L}=
\left(
\begin{array}{cc}
L_{11}& L_{12}\\
L_{21}& L_{22}
\end{array}
\right)
\)

Wie zeige ich hier jetzt, dass diese Größe nicht erhalten ist?

Betrachte ich da einfach (?)

\(
[exp(i\alpha \hat{L}/\hbar),\hat{H}]
\)

Aber das Problem ist doch, dass ich zunächst ein freies Teilchen betrachte, das ich dann eben durch Möbiusband-Randbedingungen einschränke. Dadurch habe ich im Prinzip doch einen ganz anderen Hamiltonoperator, nämlich derjenige der durch ein Potentialtopf in y-Richtung eingeschränkt wird und durch eine Invertierung bezüglich der x-Richtung?

VG
Physics




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
moep
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.06.2006
Mitteilungen: 1751
Herkunft: karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-07


Deine Intuition gibt dir schon die richtige Richtung vor, naemlich dass die Nicht-Erhaltung nicht aus den ueblichen Argumenten ueber infinitesimale Betrachtungen wie Zeitentwicklung (das willst du ja ausrechnen) oder Rotationen etc herzuleiten ist. Denn die Nicht-Orientierbarkeit ist mehr eine globale als eine lokale Angelegenheit.

Hast du denn schon mal versucht, den Operator $\hat{L} = \hat{x} \times \hat{p}$ auf die Wellenfunktionen, die du in Beitrag 6 ausgerechnet hast, anzuwenden?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 398
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-11


Hey moep,

also den ganz "klassischen" Drehimpulsoperator und nicht der, den zippy definiert hat?

Wenn ich diesen Operator anwende, was bringt mir das dann?

VG
Physics



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
moep
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.06.2006
Mitteilungen: 1751
Herkunft: karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-11


Der klassische Drehimpuls in 3 Dimensionen ist $L_i = \epsilon_{ijk} x_j p_k$. In 2 Dimensionen wuerde die analoge Groesse lauten $L = \epsilon_{ij} x_i p_j = x_1 p_2 - x_2 p_1$. In orientierbaren Raum ist es halbwegs offensichtlich, warum in 2d der Drehimpuls kein Vektor ist: In 3 (und mehr) Dimensionen gibt es verschiedene Drehachsen. In 2d (stell dir eine Ebene vor) aber gibt es nur eine Rotationsachse, naemlich die, die senkrecht zur Ebene steht.
Um deine Aufgabe zu loesen, koenntest du also diesen Operator auf die Wellenfunktionen, die du ausgerechnet hast, anzuwenden.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 398
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-11


Hey moep,

Danke! Und die Drehimpuls Erhaltung bzgl dieser Größe zeige ich dann dadurch dass dieser Operator mit dem Hamilton vertauschen kann?

VG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
moep
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.06.2006
Mitteilungen: 1751
Herkunft: karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-11


Nein, ich fuerchte, das Vertauschungs-Verhalten mit dem Hamilton Operator wird dem Kern des Problems nicht gerecht.

Denn, wie ja schon oben erwaehnt, ist die Topologie des Moebius-Bands eine globale Angelegenheit. Auf der anderen Seite geht es bei Vertauschungsverhalten mit dem Hamiltonoperator um das lokale Verhalten -- und lokal sieht das Moebius-Band genau so aus wie flacher Raum, auf dem Drehimpuls erhalten ist.

Nochmal: Dein urspruenglich gestelltes Problem hat eine sehr tiefgruendige Erklaerung, die in Teilen schon gegeben wurde.
Dir scheint es aber im Moment nur um das "Loesen einer Aufgabe" zu gehen. Ob eine Antwort/Rechnung den Anforderungen dieser Aufgabe gerecht wird, kann nur der Aufgabensteller dir sagen (vor allem, wenn wir von der genauen Formulierung der Aufgabe, sowie der groessere Kontext, in dem die Aufgabe gestellt wurde, nicht kennen).
Zum Beispiel haben sowohl zippy als auch ich am Anfang das Problem rein klassisch betrachtet, d.h., es geht nirgends um Wellenfunktionen oder Operator-Vertauschungen. Fuer uns scheinen diese "zusaetzlichen Strukturen" voellig unwichtig zu sein, aber fuer dich scheint es die Ausgangslage zu sein.

Um's also kurz zu fassen: Rechne doch erst mal die Erwarungswerte der Wellenfunktionen, die du schon berechnet hast, aus, praesentiere sie hier, und dann sehen wir weiter, inwiefern fuer dich das Ergebnis zu interpretieren ist.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physics hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Physics wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]