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Universität/Hochschule J Darstellungsmatrix Projektionsabbildung
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-28


Guten Abend zusammen!

Ich bearbeite gerade die folgende  Aufgabe:

Sei $V = \mathbb{R}^{3}$ , und sei $U = \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3} \; | \; x + y - z = 0\}$

1. Zu bestimmen ist ein Unterraum W von V mit $V = U \oplus W$.
2. Sei $f \in End(V)$ definiert durch $f(v) = u$ für alle $v = u + w$ mit $u \in U, \; w \in W$. Zu bestimmen ist eine Basis $V$ von V aus Eigenvektoren von $f$.
3. Zu bestimmen ist $\mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}$


1. Nun zunächst einmal ist $U = \langle \{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} \rangle$. Damit wäre $W = \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle $ ein Unterraum W mit den geforderten Eigenschaften.

2. Sei nun $B = B_{U} \cup B_{W} = \{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \}$.
Bzgl. B ist doch dann die Darstellungsmatrix von f
$\mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Dies ist doch aber bereits eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale? Wo soll da noch eine Rechnung erfolgen?
Müsste man noch ausrechnen, dass U und W die jeweiligen Eigenräume zu den Eigenwerten 1 und 0 sind?

Ich würde mich freuen, wenn ihr einen Blick drüber werfen könntet! 🙂

Viele Grüße,
X3nion


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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-29


Hallo,

es sieht alles sehr gut aus. An deiner Stelle hätte ich $W=\langle (1,1,-1)^t\rangle$ ausgesucht, weil es schon bezüglich des Standardskalarproduktes orthogonal auf $U$ steht, aber eigentlich ist es total egal.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30


Hallo ochen und vielen Dank für deinen Beitrag!

Hmm das Standardskalarprodukt kommt erst später im Skript, deshalb habe ich jetzt nicht daran gedacht.

Was denkst du, würde in Aufgabe 2 noch zu rechnen gelten?
Dass 1 und 0 wirklich Eigenwerte von f sind?

Also sei etwa $v = \lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2} + 0w_{1}$, also v eine Linearkombination von Vektoren aus U. Dann ist $f(v) = f(\lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2} + 0w_{1}) = \lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2} + 0w_{1} = 1 \cdot (\lambda_{1}u_{1} + \lambda_{2}u_{2})$ ?

Und dieses Spiel nochmal mit dem Eigenwert 0?

Ich weiß halt nicht, was hier noch zu tun ist, weil alles im Prinzip schon da steht :D

Viele Grüße,
X3nion


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-30 12:26


Hallo nochmal

2020-10-30 00:22 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:

Ich weiß halt nicht, was hier noch zu tun ist, weil alles im Prinzip schon da steht :D


Dann ist das doch auch gut :)

Vielleicht hast du in den Aufgaben davor  auch schon zu viel gemacht und musst es jetzt nicht mehr beantworten.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31 13:58


Alles klar, Danke dir nochmal ochen! :)

Viele Grüße,
X3nion


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