|
Autor |
Minimalpolynome von Endomorphismen |
|
mathebauer97
Aktiv  Dabei seit: 07.03.2020 Mitteilungen: 22
Herkunft: Österreich
 |
Hallo,
ich wiederhole in meinem LA Skript gerade das Kapitel über Charakteristische Polynome / Minimalpolynome von Endomorphismen. Dort steht folgendes Beispiel:
(Im Folgenden bezeichnen \(\chi(t)\) charakteristische Polynome und \(\mu(t)\) Minimalpolynome.)
In \( \mathbb{R}^{2 \times 1}\) gilt:
Für \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
ist \(\chi_{f_{X}}(t)=(t-1)^{2}\) und \(\mu_{f_{X}}(t)=(t-1)\)
Das kann ich nachvollziehen - die Nullstellen des Minimalpolynoms unterscheiden sich nicht von denen des charakteristischen Polynoms, es muss aber minimalen Grad besitzen.
Für \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
ist \(\chi_{f_{X}}(t)=\mu_{f_{X}}(t)=(t-1)^{2}\)
Das verstehe ich nicht. Meiner Meinung nach müsste das Minimalpolynom doch aussehen wie beim ersten Beispiel. Warum kann ich hier den Grad nicht weiter verringern ?
|
Für mathebauer97 bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Vercassivelaunos
Senior  Dabei seit: 28.02.2019 Mitteilungen: 1174
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-31
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}
\newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Hallo mathebauer97,
probier es doch einfach mal aus: Setze die Matrix in dein vorgeschlagenes Minimalpolynom ein, und du wirst sehen, dass nicht $0$ rauskommt.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
|
Für Vercassivelaunos bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
mathebauer97
Aktiv  Dabei seit: 07.03.2020 Mitteilungen: 22
Herkunft: Österreich
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01
|
Hallo und vielen Dank für die Antwort,
habe ganz vergessen, dass ich das so machen kann. So wird es natürlich offensichtlich. 😁
Bislang hatten wir das Einsetzen eines Endomorphismus in eine Polynomfunktion nämlich so definiert:
Wenn \(\mu_{f_{X}}(t) = \sum_{i=1}^{k}t^{i}a{i}\),
dann ist \(\mu_{f_{X}}(f)(v) = \sum_{i=1}^{k}f^{i}(v)*a_{i}\)
wobei in dem oben angeführten Beispiel \(v \in \mathbb{R}^{2\times 1}\) wäre.
Kann ich daraus schließen, dass ich ganz einfach die Abbildungsmatrix \(X\) in
\(\mu_{f_{X}}\) einsetzen kann ? Ist doch eigentlich genauso als würde ich die Vektoren der Standardbasis einsetzen, oder ?
lg
|
Für mathebauer97 bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Vercassivelaunos
Senior  Dabei seit: 28.02.2019 Mitteilungen: 1174
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-01
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}
\newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Ja, das kannst du tatsächlich machen. In diesem Fall also
\[\mu_{f_X}(X)=(X-1)^2=\matrix{0&0\\1&0}^2=\matrix{0&0\\0&0},\]
während hingegen einsetzen in das Polynom $p=t-1$ einfach nur $p(X)=\matrix{0&0\\1&0}\neq0$ ergeben würde.\(\endgroup\)
|
Für Vercassivelaunos bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
mathebauer97
Aktiv  Dabei seit: 07.03.2020 Mitteilungen: 22
Herkunft: Österreich
 |     Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01
|
Ich verstehe, besten Dank :)
lg
|
Für mathebauer97 bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
mathebauer97 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. mathebauer97 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | [Neues Thema] [Druckversion] |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen. Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|