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 Entwicklungssatz der Funktionentheorie |
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Pter87
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 |  Themenstart: 2020-11-02
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Ich arbeite mit dem Buch "Funktionentheorie" von Folkmar Bornemann und bin gerade beim Entwicklungssatz, der besagt, dass jede auf einer Menge $U$ holomorphe Funktion in eine Potenzreihe entwickelbar ist. Dort werden auch folgende Definitionen genannt:
\[
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n,\quad a_n =\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B}^{} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\, d\zeta
\]
Mir ist nicht klar wieso für die n-te Ableitung folgendes gilt:
\[
f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial B}^{} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\, d\zeta
\]
Wieso kann ich das oben nicht einfach gliedweise ableiten, womit ich folgendes herausbekommen würde:
\[
f^{(k)}(z) = \sum_{n=k}^{\infty}n^{\underline{k}}a_n(z-z_0)^{n-k}
\]
wobei $\underline{k} = n(n-1)\cdots(n-k+1)$
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rlk
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| Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-02
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Hallo Pter87,
in Deiner dritten Gleichung sollte links $f^{(n)}(z_0)$ stehen, die rechte Seite hängt ja gar nicht von $z$ ab.
Das gliedweise Ableiten funktioniert, die Ableitung an der Entwicklungsstelle $z_0$ liefert den gesuchten Zusammenhang.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
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Pter87
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-02
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Bei mir im Buch steht da nicht $z_0$ sondern $z$ ?
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rlk
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-02
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Hallo Pter87,
wenn Du in der geändertenℵ dritten Gleichung $z=z_0$ einsetzt, kannst Du sie auf dem angedeuteten Weg nachweisen. Als nächstes kannst Du darüber nachdenken, was für $z\neq z_0$ gilt. Dabei spielt das Gebiet $B$ eine wichtige Rolle.
ℵ Solche Änderungen solltest Du kommentieren, damit die Diskussion nachvollziehbar bleibt.
Servus,
Roland
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Pter87
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-03
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Folgendes soll also gleich sein ?
$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial B}^{} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\, d\zeta = \sum_{n=k}^{\infty}n^{\underline{k}}a_n$
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rlk
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-03
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Hallo Pter87,
nein, wenn Du $n$ für die Ordnung der Ableitung verwendest, musst Du für den Summationsindex ein anderes Symbol verwenden. Die Summanden sind Funktionen von $z$, wie Du in der dritten Gleichung des Themenstarts richtig geschrieben hast.
Servus,
Roland
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| Pter87 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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