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Funktionentheorie » Holomorphie » sin(f(z)) = f(z) => f konstant?
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Universität/Hochschule sin(f(z)) = f(z) => f konstant?
mathlete
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  Themenstart: 2020-11-03

Die Aufgabe lautet: Beurteile, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist: "Es sei f holomorph in einem Gebiet G mit sin(f(z))=f(z) für alle z ∈ G. Dann ist f konstant." Ich glaube die Aussage ist wahr, da ich kein Gegenbeispiel finden kann. Leider komme ich aber nicht auf den Beweis. Ich vermute, dass ich das Offenheitsprinzip bzw. den Satz der Gebietstreue anwenden muss, aber ich komme auf keinen Widerspruch: Angenommen f ist nicht konstant. Nach dem Satz der Gebietstreue ist f(G) dann ein Gebiet und nach selbigen ist auch sin(f(G)) ein Gebiet. Weiter weiß ich leider nicht. Kann mir irgendjemand sagen, ob meine Idee überhaupt richtig ist? Vielen lieben Dank schon mal für eure Hilfe! 🙂


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Hallo mathlete, leite die Gleichung mal ab. Dann erhältst du $f'(z)\cos(f(z))=f'(z)$, beziehungsweise $f'(z)(\cos(f(z))-1)=0$. Es gilt also für alle $z\in G$ entweder $f'(z)=0$ oder $\cos(f(z))=1$. Jetzt kannst du noch etwas mit Identitätssatz und Satz von der Gebietstreue rumspielen, um die Aussage zu erhalten. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


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mathlete
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-03

Okay, also wenn cos(f(z))=1 wäre dies ein Widerspruch zum Satz der Gebietstreue, da {1} ja keine offene Menge ist, cos(f(z)) aber auf eine solche abbilden müsste. Also muss \( f^{'} \)(z)=0 gelten. Dies bedeutet, dass deren Stammfunktion f konstant ist (entweder ein komplexer Wert oder selbst wieder 0). So richtig? Danke für deine Hilfe! 👍


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Du musst noch ein bisschen feiner Argumentieren: Zur Auswahl stehen nicht, dass entweder $\cos(f(z))$ konstant $1$ ist oder $f'(z)$ konstant $0$. Sondern in jedem einzelnen Punkt $z\in G$ steht zur Auswahl, dass entweder $\cos(f(z))=1$ oder $f'(z)=0$ ist. Du kannst also nicht sagen, $\cos(f(z))$ könne nicht konstant $1$ sein, weshalb $f'$ konstant $0$ sein müsse. Außerdem kann $\cos (f(z))=1$ für alle $z\in G$ ja durchaus sein, auch ohne Widerspruch zum Satz von der Gebietstreue. Der Satz besagt dann jedoch, dass $f(G)$ kein Gebiet sein kann (sonst wäre $\cos(f(G))$ nämlich auch eines), womit $f$ konstant sein müsste. Als Hinweis: zunächst einmal kannst du sagen, dass $f'(z)=0$ entweder für alle $z\in G$ gilt (womit $f$ konstant wäre), oder höchstens für eine disrekte Teilmenge von $G$ (womit in einem Komplement einer diskreten Menge, also einer offenen Menge, die andere Bedingung $\cos(f(z))=1$ gelten muss). \(\endgroup\)


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mathlete
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-03

Mh.. Also irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch.. Ich verstehe deine Argumentation soweit, dass wenn f′(z)=0 für alle z ∈ G, dass f dann konstant ist. Warum handelt es sich im anderen Fall aber nur um eine diskrete Teilmenge und z.B. nicht um eine zusammenhängende? Wie dem auch sei: Auf dem Komplement (welches offen ist), muss cos(f(z))=1 gelten. Das verstehe ich. Aber dies kann ja auch nur gelten, wenn f nicht konstant ist, oder? Weil sonst könnte cos(f(z))=1 ja nicht auf einer offenen Menge gelten. Ich glaube ich habe gerade irgendwo einen Denkfehler 😖


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) $f'$ ist als Ableitung einer holomorphen Funktion selbst wieder holomorph. Wenn deren Nullstellen nicht diskret sind, dann ist $f'$ nach Identitätssatz also konstant $0$. Es gibt also nur zwei Möglichkeiten: Die Nullstellenmenge ist entweder ganz $G$, oder nur eine diskrete Teilmenge. Zum Cosinus: Damit $\cos(f(z))=1$ ist, reicht es ja, wenn $f(z)\in\{(\frac{1}{2}+k)\pi~\vert~k\in\Z\}$. Es kann also $\cos(f(z))$ durchaus konstant sein, ohne dass $f$ konstant ist. Man muss also etwas genauer argumentieren, wieso nun $f$ konstant sein muss. Zum Beispielso wie ich weiter oben argumentiert habe, nämlich darüber, dass wenn das Bild von $f$ offen wäre, dann das Bild des $\cos$ auf dieser Menge ebenfalls offen sein müsste, was es aber nicht ist. Entsprechend ist $f$ als holomorphe Funktion konstant. Oder man kann argumentieren, dass $f(z)$ in der oben genannten Menge $\{(\frac{1}{2}+k)\pi~\vert~k\in\Z\}$ liegt (hier benutzt man etwas konkreteres Wissen über den $\cos$), das Bild von $f$ also nicht offen ist. Wieder folgt daraus, dass $f$ konstant ist.\(\endgroup\)


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Okay, danke für deine ausführliche Antwort! 👍 Also nur damit ich es jetzt auch richtig verstanden habe: "... wenn das Bild von f offen wäre, dann das Bild des cos auf dieser Menge ebenfalls offen sein müsste, was es aber nicht ist." Das Bild des cos ist nicht offen, weil es lediglich auf die 1 abbildet oder habe ich da immer noch einen Denkfehler? Die zweite Argumentation verstehe ich! Vielen Dank nochmal für deine Hilfe! 🙂👌


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Vercassivelaunos
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-03

Genau so ist es!


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