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| Autor |
 σ-Algebra, Äquivalenzrelationen |
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Majazakava
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 100
 |  Themenstart: 2020-11-06
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Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter.
Sei X eine endliche Menge und S eine \sigma\-Algebra von Teilmengen von X. 1. Zeigen Sie, dass auf X eine Äquivalenzrelation ~ derart existiert, dass A \el\ S äquivalent dazu ist, dass A mit einem Element x auch dessen Äquivalenzklasse [x] := {y\el\ X : x ~ y} enthält.
2. Zeigen Sie weiter, dass S von den Äquivalenzklassen erzeugt wird, also S = \sigma\({[x] : x \el\ X}).
Ich habe versucht bei 1. die Äquivalenz in den jeweiligen Richtungen getrennt zu beweisen.
Bei "=>" weiß ich, dass:
x~y <=> (\forall\ A \el\ S) {x,y}\subsetequal\ A oder {x,y} \subsetequal\ A^C <=> (\forall\ A \el\ S) (x\el\ A <=> y \el\ A)
Hier möchte ich zeigen, dass (x\el\ A <=> y \el\ A) gilt. Jedoch weiß ich nicht, wie man hier vorgehen soll.
Bei "< =" habe ich überlegt, ob man ein Widerspruchsbeweis machen kann, aber komme damit nicht weiter.
Ich freue mich über jede Hilfe. Vielen Dank im Voraus.
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4248
Wohnort: Raun
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-07
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\
Hallo Majazakava,
nochmal versuchen, anstelle von "=>" und "<==" einzeln vielleicht auch gleich "<=>".
(\forall\ A \el\ S) \blue{x,y}\subsetequal\ A oder {x,y} \subsetequal\ A^C\black<=> (\forall\ A \el\ S) \blue(x\el\ A <=> y \el\ A) \black
Viele Grüße,
Stefan
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Majazakava
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 100
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-09
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Hi,
ich denke Du hast meine Fragestellung falsch verstanden.
a. Ich muss zuerst zeigen, dass eine Äquivalenzrelation existiert.
b. Danach muss ich zeigen, dass A \el\ S <=> (x \el\ A => [x] \subsetequal\ A) ist.
Leider weiß ich nicht, wie ich die zwei Teilaufgaben beweisen soll.
Kann ich die Existenz durch die Symmetrie, Reflexivität und Transitivität zeigen?
Danke schon einmal.
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StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4248
Wohnort: Raun
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-14
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Weil du schon
\quoteon(2020-11-06 19:00 - Majazakava im Themenstart)
Bei "=>" weiß ich, dass:
x~y <=> (\forall\ A \el\ S) {x,y}\subsetequal\ A oder {x,y} \subsetequal\ A^C
\quoteoff
geschrieben hattest, war für mich 1a) eigentlich schon geklärt.
\
Wenn nicht, zuerst muss eine Relation "~" definiert werden, zum Beispiel wieder
x~y := (\forall\ A \el\ S) {x,y}\subsetequal\ A oder {x,y} \subsetequal\ A^C
diesmal als Definition ":=" anstelle von "<=>". Ja, und dann muss anschließend Symmetrie, Reflexivität und Transitivität gezeigt werden, um deine Frage zu 1a) zu beantworten.
Den Teil 1b) hattest du auch schon richtig begonnen. Um zu zeigen, dass A \el\ S <=> (x \el\ A => [x] \subsetequal\ A) ist, reicht es zu zeigen, dass
\quoteon(2020-11-06 19:00 - Majazakava im Themenstart)
(\forall\ A \el\ S) {x,y}\subsetequal\ A oder {x,y} \subsetequal\ A^C <=> (\forall\ A \el\ S) (x\el\ A <=> y \el\ A)
Hier möchte ich zeigen, dass (x\el\ A <=> y \el\ A) gilt. Jedoch weiß ich nicht, wie man hier vorgehen soll.
\quoteoff
\
gilt, und da wollte ich in meiner ersten Antwort die Aufmerksamkeit darauf lenken, dass das linke "<=>" ( nach dem A^C ) sogar für beliebige Mengen A gilt, nicht nur für alle A \el\ S.
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| Majazakava hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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