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Funktionentheorie » Holomorphie » Cauchy-Riemann-Differentialgleichung
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Universität/Hochschule Cauchy-Riemann-Differentialgleichung
Lisamayer98
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  Themenstart: 2020-11-08

Hi, Ich habe folgende Aufgabe bekommen: Eine Funktion \( u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) heißt harmonisch, wenn \( \Delta u:=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \) (Laplace'sche Differentialgleichung). (a) Zeigen Sie, dass \( u(x, y)=e^{-x}(x \cos (y)+y \sin (y)) \) harmonisch ist. (b) Bestimmen Sie eine Funktion \( v: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( v(0,0)=0 \) so, dass \( u \) und \( v \) die CauchyRiemannschen Differentialgleichungen erfüllen. (Dann ist \( u+i v \) eine holomorphe Funktion.) (c) Schreiben Sie \( f=u+i v \) mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion als Funktion von \( z=x+i y \) (d) Beweisen Sie, dass jede zweimal differenzierbare holomorphe Funktion harmonisch ist. Kann mir jemand helfen wie man diese Beweise ausführt und in b) das berechnet, ich habe da Schwierigkeiten. Vielen Dank!


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PrinzessinEinhorn
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Mitteilungen: 2625
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-08

Hallo, was hast du denn probiert? Bei der a) müsstest du doch einfach nur die Definition nachrechnen. Das solltest du hinbekommen.


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