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| Autor |
 biholomorphe Abbildungen |
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timey
Neu 
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2020-11-08
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Hallo zusammen,
ich bin neu hier, sollte also irgendwas mit dem Latex-Plugin nicht klappen, bitte ich das zu entschuldigen.
Ich habe gestern eine Klausur in Funktionentheorie geschrieben, wir durften eine Aufgabe weglassen. Meine Wahl fiel auf folgende:
Sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, \(a, b \in G\)
Zeigen sie, dass es eine biholomorphe (also insbesondere surjektive) Abbildung von G auf G gibt, für die f(a)=b gilt.
Ich habe mir überlegt, dass man wohl mit dem riemannschen Abbildungssatz eine biholomorphe Funktion, die auf den Einheitskreis abbildet, bekommt und man diesen Einheitskreis dann mit einer geeigneten Möbiustransformation zurück auf G abbilden kann, weil G ja einfach zusammenhängend ist. Aber für eine saubere Argumentation reicht's nicht. Kann mir vielleicht jeamnd helfen?
Vielen Dank schon mal.
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Bai
Senior 
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1257
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-08
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Hi,
\quoteon(2020-11-08 15:11 - timey im Themenstart)
Ich habe mir überlegt, dass man wohl mit dem riemannschen Abbildungssatz eine biholomorphe Funktion, die auf den Einheitskreis abbildet, bekommt und man diesen Einheitskreis dann mit einer geeigneten Möbiustransformation zurück auf G abbilden kann, weil G ja einfach zusammenhängend ist.
\quoteoff
Das klingt doch schon mal gut. Jetzt musst du nur noch verwenden (oder beweisen, je nach Skriptinhalt), dass die Automorphismengruppe \(\operatorname{Aut}(\mathbb D)\) der Einheitskreisschreibe \(\mathbb D\) transitiv auf dieser operiert.
Beste Grüße
Bai
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timey
Neu
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-08
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Vielen Dank schon mal:)
Was bedeutet hier transitiv? Das kenn ich nur von Relationen, von Algebra hab ich noch nicht so viel Ahnung.
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1257
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-08
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\quoteon(2020-11-08 16:30 - timey in Beitrag No. 2)
Was bedeutet hier transitiv?
\quoteoff
Im Prinzip die zu zeigende Aussage auf Ebene der Einheitskreisscheibe: Zu jedem \((z,w)\in\mathbb D\times\mathbb D\) gibt es ein \(\varphi\in\operatorname{Aut}(\mathbb D)\) mit \(\varphi(z)=w\). Es handelt sich dabei um ein Standardresultat, das eigentlich in jedem Funktionentheorie Buch/Skript im Abschnitt Biholomorphie behandelt wird.
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-10
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Schau sonst mal bei diesem Beitrag vorbei, ich habe nämlich neulich eine ähnliche Aufgabe gelöst.
LG Phoensie
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