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 affine Unterräume |
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senmeis
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.01.2014
Mitteilungen: 38
 |  Themenstart: 2020-11-10
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Hi,
ich kann den Begriff "affine Unterräume" in der Vorlesung "lineare Algebra" immer nicht richtig verstehen. Soweit ich mitbekomme wird eine Konstante mit einem Vektor (oder einer Matrix) irgendwie addiert. Kann mir jemand dies anhand eines Zahlenbeispiels aufklären?
Senmeis
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10669
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo senmeis,
da braucht es eigentlich kein Zahlenbeispiel. Ein affiner Unterraum ist die Summe aus einem Unterraum und einem Vektor aus dem zugrundeliegenden Vektorraum der nicht in diesem Unteraum liegt. Wenn du so willst, dann wird jeder Vektor des Unterraums mit dem (Verschiebe-)Vektor addiert.
Insbesondere enthält ein affiner Unterraum damit den Nullvektor nicht.
Ein anschauliches Beispiel wären etwa alle Ebenen im \(\IR^3\), die ja dann i.a. den Ursprung nicht enthalten. Jede einzelne Ebene ist ein affiner Unterraum des \(\IR^3\).
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Vektorräume' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]\(\endgroup\)
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10669
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo senmeis,
ich muss mich hier korrigieren, ich hatte das falsch in Erinnerung.
Ein affiner Unterraum ist die Summe \(a+U\), wobei U ein Unterraum des betrachteten Vektorraums V ist und \(a\in V\).
Unterräume sind damit prinzipiell auch affine Unterräume, wobei dann eben \(v\in U\) gilt.
Sorry für den Fehler.
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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senmeis
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.01.2014
Mitteilungen: 38
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-11
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In Deinem Beispiel ist die Ebene ein 2D Objekt aber der Vektor ein 3D Objekt. Wie können die beiden addiert werden? Oder ist einfach eine Menge, die aus den beiden besteht?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10669
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-11
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
jede Ebene durch den Ursprung ist ein zweidimensionaler Unterraum des \(\IR^3\). Jeder Punkt einer solchen Ebene ist aber nach wie vor Element des \(\IR^3\), hat also drei Koordinaten.
Hilft dir das weiter?
Mir scheint, su solltest dich auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede von echten und von affinen Unterräumen konzentrieren.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4603
 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-11
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Man kann lineare und affine Unterräume auch durch ihre Eigenschaften charakterisieren: Eine Teilmenge $U$ eines $K$-Vektorraums $V$ ist ein...
* linearer Unterraum, wenn $\lambda\,x+\mu\,y\in U$ für beliebige $x,y\in U$ und $\lambda,\mu\in K$
* affiner Unterraum, wenn $\lambda\,x+(1-\lambda)\,y\in U$ für beliebige $x,y\in U$ und $\lambda\in K$
Mit folgenden Operationen kommt man von einem zum anderen:
* Für einen affinen Unterraum $U$ bilden die Translationen $U-U=\{x-y:x,y\in U\}$ einen lineare Unterraum.
* Für einen linearen Unterraum $U$ und einen Vektor $x\in V$ ist $x+U=\{x+y:y\in U\}$ ein affiner Unterraum, und dessen Translationen bilden wieder den ursprünglichen linearen Unterraum.
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