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Funktionentheorie » Holomorphie » Möbius-Transformation
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Universität/Hochschule Möbius-Transformation
Lisamayer98
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  Themenstart: 2020-11-15

Hallo, weiß jemand, wie ich diese Aufgabe löse, ich komme hier einfach nicht weiter… Ich danke euch vielmals, falls einer einen Tipp hat! Eine Möbius-Transformation \( f \) ist gegeben durch \( f(z)=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad \text { mit } \quad a, b, c, d \in \mathbb{C}, \quad \text { und } a d-b c \neq 0 \) Es sei \( \mathbb{C}_{\infty} \) die erweiterte komplexe Zahlenebene, \( \mathbb{C}_{\infty}:=\mathbb{C} \cup\{\infty\} . \) Zeigen Sie folgende Aussagen: (a) \( f: \mathbb{C}_{\infty} \rightarrow \mathbb{C}_{\infty} \) ist bijektiv. (b) Die Menge der Kreisen und Geraden wird in sich selbst abgebildet. (c) Möbius-Transformationen bilden eine Gruppe mit Hintereinanderausführung als Verknüpfung. (Hinweis: Benutzen Sie, dass die komplexen invertierbaren \( 2 \times 2 \) -Matrizen eine Gruppe bilden.)


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-15

Hallo Lisamayer98, zeige bei (c), dass die Hintereinanderausführung zweier Möbiustransformationen \(a,b,c,d\) und \(e,f,g,h\) zu einer Gesamt-Möbiustransformation führt, deren Koeffizienten mit den Matrixeinträgen des Produkts der beiden Matrizen \(\begin{pmatrix} e&&f\\g&&h\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} a&&b\\c&&d\end{pmatrix}\) übereinstimmen. Dann entspricht die Hintereinanderausführung zweier Möbiustransformationen einer Matrixmultiplikation und diese bilden ja eine Gruppe. Viele Grüße, Stefan


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Lisamayer98
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-16

Super, danke dir!


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Lisamayer98 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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