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Funktionentheorie » Holomorphie » Transformation beweisen (Möbius)
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Universität/Hochschule Transformation beweisen (Möbius)
mathe22
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  Themenstart: 2020-11-15

Leute, ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter, kann mir jemand sagen, wie man das hier löst? Das Doppelverhältnis \( \left[z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right] \) von vier verschiedenen Punkten \( z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in \mathbb{C}_{\infty} \) ist definiert als \( \left[z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right]:=\frac{\left(z_{1}-z_{3}\right)\left(z_{2}-z_{4}\right)}{\left(z_{1}-z_{4}\right)\left(z_{2}-z_{3}\right)} \text { für } z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in \mathbb{C} \) und für \( z_{j}=\infty \) als entsprechender Grenzwert, also z.B. \( \left[\infty, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right]:=\lim \limits_{z \rightarrow \infty}\left[z, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right]=\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{2}-z_{3}} \) (a) Sei \( f: \mathrm{C}_{\infty} \rightarrow \mathrm{C}_{\infty} \) eine Möbius-Transformation. Beweisen Sie, dass \( \left[z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right]=\left[f\left(z_{1}\right), f\left(z_{2}\right), f\left(z_{3}\right), f\left(z_{4}\right)\right] \) für paarweise verschiedene \( z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in \mathbb{C}_{\infty} \) (b) Benutzen Sie Teil (a) um folgendes zu zeigen: Gegeben paarweise verschiedene Punkte \( z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}_{\infty} \) und \( w_{1}, w_{2}, w_{3} \in \mathbb{C}_{\infty}, \) so existiert genau eine Möbius-Transformation \( f: \mathbb{C}_{\infty} \rightarrow \mathbb{C}_{\infty} \) mit \( f\left(z_{j}\right)=w_{j} \) für \( j=1,2,3 \). Für \( z \notin\left\{z_{1}, z_{2}, z_{3}\right\} \) ist \( f \) gegeben durch \( \left[w_{1}, w_{2}, w_{3}, f(z)\right]=\left[z_{1}, z_{2}, z_{3}, z\right] \) Ich würde mich freuen, wenn jemand die Zeit findet, mir zu helfen! Danke!


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-15

Hallo mathe22, zu Aufgabe (a) siehe https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=35804 , also entweder in $\left[f\left(z_{1}\right), f\left(z_{2}\right), f\left(z_{3}\right), f\left(z_{4}\right)\right]$ die Möbiustransformation einsetzen und stur ausrechnen, oder weil sich jede Möbiustransformation durch Verkettung von Elemetartypen darstellen lässt, die Behauptung für die Elementartypen beweisen. Viele Grüẞe, Stefan


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mathe22
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-16

Danke für deine Hilfe Stefan!


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