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 Termvereinfachung einiger quadratischer Terme |
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Wario
Aktiv 
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 |  Themenstart: 2020-11-17
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Ich habe $(x+p)^2(h^2+y^2)=(y-p)^2(h^2+x^2)$.
Die Umformung sollte
// alt: $(h^2-p^2)(x-y)+2pxy+2ph^2=0$ (stimmt sofern $x+y>0$) //
neu: einen quadratischen Ausdruck für $x$ und $y$
ergeben.
Wie komme ich da am besten drauf? Stumpf alles ausmultiplizieren scheint mir etwas aufwendig. Geht es besser?
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Caban
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-17
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Hallo
Ich würde erstmal alles ausmultiplizieren und alle Terme auf eine Seite bringen.
Gruß Caban
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Tetris
Senior
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| Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-17
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Wie kommt denn der Summand \(2pxy\) zustande?
Lg, T.
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viertel
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
\quoteon(2020-11-17 10:34 - Wario im Themenstart)
Ich habe $(x+p)^2(h^2+y^2)=(y-p)^2(h^2+x^2)$.
Die Umformung sollte $(h^2-p^2)(x-y)+2pxy+2ph^2=0$ ergeben.
Wie komme ich da am besten drauf? Stumpf alles ausmultiplizieren scheint mir etwas aufwendig. Geht es besser?
\quoteoff
Das ginge überhaupt nur dann, wenn die Behauptung korrekt wäre!
In der ersten Gleichung entsteht $y^2$ (und fällt auch nicht raus), in der zweiten gibt es kein $y^2$.
Gruß vom ¼
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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Wario
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-17
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Stimmt eine Zahlenprobe $x=1,~ y=2,~ h=1,~p=1$ zeigt, dass die 2. Gleichung so nicht stimmen kann.
Es müsste für $x$ und $y$ auf jeden Fall ein quadratischer Term (bzw. Gleichung) rauskommen.
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Caban
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-17
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Hallo
Woher hast du die Umformung?
Gibt es eine Orginalaufgabe?
Gruß Caban
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Wario
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-17
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\quoteon(2020-11-17 11:09 - Caban in Beitrag No. 5)
Woher hast du die Umformung?
Gibt es eine Orginalaufgabe?
\quoteoff
Nein, ich habe nur eine Lösung (die sollte stimmen, kann ich auch angeben, aber da kommen noch diverse Rücksubstitionen dazu) und diesen Zwischenschritt = die 2. Gleichung, die anscheinend falsch ist.
Die Frage wäre hier also, wie ich
$(x+p)^2(h^2+y^2)=(y-p)^2(h^2+x^2)$
(möglichst einfach) auf einen quadratischen Term in $x$ und $y$ bringen kann.
Vielleicht ist ja die 2. Gleichung nicht komplett falsch, nur ein Schreibfehler oder sowas. Evtl. kann ich es rausfinden.
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Caban
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-17
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Hallo
Ich würde hier alles ausmultiplizieren, alles auf eine seite bringen und dann geeignete Terme ausklammern oder binomische Formel rückwärts.
Gruß Caban
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viertel
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Es ist
$$(x+p)^2(h^2+y^2)-(y-p)^2(h^2+x^2)=\\
2h^2px+2h^2py+h^2x^2-h^2y^2-p^2x^2+p^2y^2+2px^2y+2pxy^2$$
Da kannst du nun nach Lust und Belieben ausklammern.\(\endgroup\)
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Wario
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-17
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Es müsste so stimmen:
$(x+p)^2(y^2+h^2)=(y-p)^2(x^2+h^2) \\
~\Leftrightarrow~
(x^2+p^2+2px)(y^2+h^2) = (y^2+p^2-2py)(x^2+h^2) \\
~\Leftrightarrow~
\underbrace{x^2y^2} + x^2h^2
+p^2y^2 +\underbrace{p^2h^2}
+2pxy^2+2ph^2x \\
\hspace{20mm}=
\underbrace{x^2y^2} +h^2y^2
+p^2x^2 +\underbrace{p^2h^2}
-2px^2y -2ph^2y \\
~\Leftrightarrow~
h^2x^2-h^2y^2-p^2x^2+p^2y^2
=
-2ph^2x -2ph^2y
-2pxy^2 -2px^2y \\
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x^2-y^2)
=
-2ph^2(x+y)
-2p(xy^2+x^2y) \\
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x^2-y^2)
=
-2ph^2(x+y)
-2p xy (x+y) \\
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x-y) \underbrace{(x+y)}
=
-2p\underbrace{(x+y)} (h^2+xy)
\hspace{15mm}\small\text{[wobei $~~~x+y>0$]} \\[1.5em]
~\Leftrightarrow~
(h^2-p^2)(x-y) + 2p(h^2+xy) = 0
$
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viertel
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Und du bist wieder bei genau derselben Gleichung angekommen, wie du sie im Startbeitrag (inzwischen) als falsch gekennzeichnet hast.
Die vorletzte Zeile stimmt noch mit der Ausgangsgleichung überein (also keine Umformungsfehler).
Aber das „Kürzen“ des Terms $(x+y)$ macht dann den Unterschied.
Du könntest ihn stattdessen ausklammern, dann wäre die Umformung ohne die Zusatzbedingung $x+y>0$ (von welchem Himmel ist die gefallen?) korrekt.\(\endgroup\)
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Wario
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-18
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\quoteon(2020-11-17 19:36 - viertel in Beitrag No. 10)
Und du bist wieder bei genau derselben Gleichung angekommen, wie du sie im Startbeitrag (inzwischen) als falsch gekennzeichnet hast.
Die vorletzte Zeile stimmt noch mit der Ausgangsgleichung überein (also keine Umformungsfehler).
Aber das „Kürzen“ des Terms $(x+y)$ macht dann den Unterschied.
Du könntest ihn stattdessen ausklammern, dann wäre die Umformung ohne die Zusatzbedingung $x+y>0$ (von welchem Himmel ist die gefallen?) korrekt.
\quoteoff
So gesehen ist es mein Versehen, die Zusatzbedingung x+y>0 nicht erwähnt zu haben. Diese gilt, da es sich bei allen größen um positive Streckenlängen handelt.
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