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| Autor |
  Residuenberechnung des Cotangens |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 |  Themenstart: 2020-11-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebe Matheplanetarier
Ich ersuche euren Rat in folgender Aufgabe:
Bestimme die Singularitäten und Residuen der Funktion $z \mapsto \cot(\pi z)$.
Der Einfachheit halber definiere ich mir diese Funktion als
\[
f(z):= \cot(\pi z) = \frac{\cos(\pi z)}{\sin(\pi z)}.
\]
Bereits hier sieht man, dass die Singularitäten von $f$ genau die Nullstellen des Nenners sind (denn der Zähler ist eine auf ganz $\C$ holomorphe Funktion). Bezeichnet $P$ die Singularitätenmenge von $f$, so ist $f:\C \setminus P \to \C$ holomorph (denke ich). Im Reellen verschwindet der Sinus für alle ganzen Vielfachen von $\pi$. Also hat $f$ sicher isolierte Singularitäten an $z \in \Z$.
Gibt's auch komplexe Singularitäten?🤔
Und wie gehe ich zur Residuenberechnung vor? Reihenentwicklung?
Liebe Grüsse
Phoensie
\(\endgroup\)
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 Profil
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-17
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Hallo Phoensie,
\quoteon(2020-11-17 11:44 - Phoensie im Themenstart)
Gibt's auch komplexe Singularitäten?🤔
\quoteoff
Dafür musst Du Dir überlegen, was die Nullstellen des komplexen Sinus sind. Für \(z=x+iy\) mit \(x,y\in\mathbb{R}\) gilt \(\sin(z)=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\), siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Komplexes_Argument
Aus der ersten Formel folgt, dass \(\sin(z)=0\) genau dann, wenn \(e^{2iz}=e^{-2y}e^{2ix}=e^{-2y}(\cos(2x)+i\sin(2x))=1\) ist, aus der zweiten folgt dass \(\sin(z)=0\) genau dann, wenn \(\sin(x)\cosh(y)=0\) und \(\cos(x)\sinh(y)=0\) sind. Beide liefern Dir natürlich das gleiche Ergebnis, such Dir was aus :)
\quoteon(2020-11-17 11:44 - Phoensie im Themenstart)
Und wie gehe ich zur Residuenberechnung vor? Reihenentwicklung?
\quoteoff
Das Residuum in einem Punkt ist der erste Koeffizient des Hauptteils der Laurent-Reihe um diesen Punkt. Wenn Du also die Reihenentwicklung schon kennst, dann kannst Du das ablesen. Generell ist es aber natürlich einfacher nur das Residuum zu bestimmen: https://de.wikipedia.org/wiki/Residuum_(Funktionentheorie)#Praktische_Berechnung
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