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Kein bestimmter Bereich *** Grenzwertig III
MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-18


Der Einheitskreis werde gefüllt mit $n$ Rechtecken, deren Eckpunkte auf dem Kreis liegen und deren Seiten parallel liegen zu den Koordinatenachsen. Zwischen Kreis und den Rechtecken verbleiben Restflächen, die überwiegend Dreiecken ähneln aus einem Kreisbogen und zwei geraden Seiten (außer dort, wo der Kreis eine Koordinatenachse schneidet). Für $n=1..3$ habe ich das in folgender Animation dargestellt.



Für ein gegebenes $n$ ergeben sich am Umfang $4n$ Restflächen. Die Rechtecke sollen genau so bemessen sein, dass alle diese Restflächen gleich groß sind, so dass sich für jedes $n$ genau ein $R_n$ ergibt. Offenkundig werden die $R_n$ immer kleiner mit wachsendem $n$. Man berechne
$$\lim_{n\rightarrow\infty}n^2R_n$$ Antworten bitte per PN.

Viel Vergnügen!

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-20


Hallo zusammen,
fast zwei Tage sind vergangen, und die Resonanz ist sehr gering. Besteht überhaupt Interesse an der Aufgabe? Braucht es einen Tipp?
Hier die RAQ (rarely asked questions):
1. Vollständige Induktion funktioniert nicht. Jedenfalls nicht, dass ich wüsste.
2. Der Wert ist kleiner als $0\mathord,4$ und nicht elementar, aber durchaus als Formel bzw. mithilfe bekannter Funktionen darstellbar. Eine numerische Berechnung ist nicht notwendig.

Ciao,

Thomas



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-20


Hallo Monty,

dürfen wir ohne Beweis voraussetzen, dass die Folge konvergiert?

Viele Grüße

ochen



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-20


Hallo ochen,
ja, natürlich. Der Limes konvergiert gegen einen Wert in der Größenordnung knapp unter $0\mathord,4$. Man kann ihn nicht erraten. (Also nein, es ist nicht $\frac1e$ 🙂).
Abgesehen von $1^2R_1$ und dem Limes sind alle anderen Folgenwerte nur numerisch bestimmbar. Der Schlüssel liegt also darin, sich zu überlegen, was $n\rightarrow\infty$ in Bezug auf die Restflächen für Konsequenzen hat.

Ciao,

Thomas



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-20


Guten Abend Thomas,

mir scheint es so, als teile (n+1) jeweils den Viertelkreisbogen in gleich lange Bogenabschnitte, und R[n] sei dann die Summe von n Teilflächen, welche durch horizontale und vertikale Verbindungen der jeweiligen Bogenpunkte zwischen [Viertel]Kreislinie und "Rechteckparkett" entstehen!?
Könntest Du Deine Grafik ggf. noch um n=4 und n=5 erweitern, so dass hier Klarheit entsteht?


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-20


Hallo cramilu,
nein, das mit den gleichlangen Bögen täuscht, es geht ausschließlich um die Restflächen, die gleich groß sein sollen. Vielleicht war das mit den Rechtecken doch missverständlich.
Siehe nachfolgendes Bild für $n=20$:
Ich hätte auch schreiben können. dass man den Kreis durch rechteckige Stufen so ausfüllen soll, dass die annähernd dreieckigen Restflächen zwischen dieser Treppe und dem Kreis jeweils gleich groß sein sollen. Das geht nicht, wenn die Bögen gleich lang sind, wie man hier gut sieht. Nicht die Summe dieser Zacken, sondern die Fläche eines einzelnen kleinen "Zackens" entspricht hier dem $R_{20}$.
Ich hoffe, so ist es klarer.

Ciao,

Thomas



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-20


Danke, Thomas!

Das bedeutet also:
1. Die Lagen der "Außenzacken" teilen den Viertelkreisbogen NICHT gleichmäßig.
2. Die "Innenzacken" liegen NICHT auf einem Bogen, welcher zu dem der "Außenzacken" konzentrisch ist - womöglich bilden sie sogar eine zykloidische Kurve...
3. Die Viertelkreissehne wird durch die Verbindungslinien zwischen Kreismittelpunkt und "Außenzacken" NICHT gleichmäßig geteilt.
4. Die Viertelkreissehne wird durch die Verbindungslinien zwischen Kreismittelpunkt und "Innenzacken" NICHT gleichmäßig geteilt.

>>> Herausforderungstechnisch ein GEILER BRUMMER ;)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Hallo zusammen,
da hier komplette Funkstille eingekehrt ist, gebe ich einen weiteren Tipp:
Eine Restfläche oder "Zacken" setzt sich zusammen aus einem kleinen Dreieck und einem Kreissegment. Was passiert mit dem Kreissegment im Verhältnis zum Dreieck, wenn $n\rightarrow\infty$ geht?
Angenommen, man würde die Größe $R_n$ als gegeben betrachten, wenn sie auch winzig klein ist, wie viele Zacken kann ich dann am Umfang verteilen?

Ciao,

Thomas



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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-24


Hallo MontyPythagoras!

Ist meine Annahme richtig, daß trotz steigendem n die Gesamtlänge der Stufen konstant bleibt? Und daß dann letztlich ein Fraktal dabei herauskommt?

Viele Grüße, Bernhard


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Hallo Bernhard,
Es ist wie bei einer Stadt mit rechtwinkligem Straßennetz: ein diagonaler Weg von A nach B ist immer gleich lang, egal welchen Weg man einschlägt (vorausgesetzt natürlich, man schlägt zwischendurch nicht entgegengesetzte Richtungen ein).
Also ja, die Gesamtlänge de Stufen wird auf einen Viertelkreis bezogen 2 ergeben, denn ich bewege mich in den zwei zueinander orthogonalen Koordinatenrichtungen um eins nach links und um eins nach oben, wenn ich bei (1,0) beginne und bei (0,1) ende. Ich bin nicht sicher, ob man das dann als fraktal bezeichnen sollte.

Ciao,

Thomas



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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-24


Hallo Monty!

2020-11-24 19:31 - MontyPythagoras in Beitrag No. 9 schreibt:
Also ja, die Gesamtlänge de Stufen wird auf einen Viertelkreis bezogen 2 ergeben, denn ich bewege mich in den zwei zueinander orthogonalen Koordinatenrichtungen um eins nach links und um eins nach oben, wenn ich bei (1,0) beginne und bei (0,1) ende. Ich bin nicht sicher, ob man das dann als fraktal bezeichnen sollte.

Zum "Schluß" hat man dann aber eine Kurve, die innerhalb* des Kreises liegt, nicht mit ihm identisch ist, aber mit diesen unendlich** viele Punkte gemeinsam hat und trotzdem um den Faktor 4/pi länger ist als er. Sowas schafft doch eigentlich nur ein Fraktal, oder?

* ist es korrekt, in diesem Zusammenhang von "innerhalb" zu reden?
** oder doch "beliebig viele"? Was wäre hier korrekt?


Viele Grüße, Bernhard


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Hallo Bernhard,
ich würde sagen, ja, die Treppe liegt innerhalb des Viertelkreises, und es liegt eine unendliche Anzahl an Eckpunkten auf dem Kreis. Das ist ja der Plan. 🙂

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27


Drei weitere Tage nach meinem letzten Tipp sind ohne Resonanz vergangen. Ich werde daher im Laufe des Sonntagabends die Lösung veröffentlichen. Wer sich noch versuchen möchte, es gibt noch eine Goldmedaille zu holen! 🙂

Ciao,

Thomas



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-11-27


Ich würde mich am Weekend nochmal dran probieren ^^
Hatte bisher keine Zeit (auch nicht für Tipps) xD



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-11-29


Also keine meiner Ansätze hat mich einer Lösung näher gebracht... Entsprechend bin ich auf die Lösung gespannt ^^



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Hallo zusammen,
nachfolgend meine Lösung. Zur Erläuterung zunächst eine Skizze:


Betrachtet man nur einen Viertelkreis, dann liegen auf demselben $n$ Ecken der Treppe. Die zu diesen Ecken gehörigen Winkel heißen $\varphi_k$ mit $k=1..n$. $\varphi_0$ kann man sich sinngemäß vorstellen, wenn man die erste Ecke an der x-Achse spiegelt, so dass $\varphi_0=-\varphi_1$ ist. Betrachten wir noch eine Vergrößerung:



Eine Restfläche setzt sich zusammen aus einem Dreieck (blau) und einem Kreissegment (grün). Es ist
$$A_D=\frac{1}{2} \left( \sin \varphi _{k+1}-\sin \varphi _{k}\right) \left( \cos \varphi_{k}-\cos \varphi_{k+1}\right)$$und
$$A_S=\frac{1}{2}\left(\varphi_{k+1}-\varphi _{k}\right) -\frac{1}{2}\sin \left( \varphi _{k+1}-\varphi_{k}\right)$$ Somit gilt für eine Restfläche
$$R_n=A_D+A_S$$$$R_n=\frac{1}{2} \left( \sin \varphi _{k+1}-\sin \varphi _{k}\right) \left( \cos \varphi_{k}-\cos \varphi_{k+1}\right)+\frac{1}{2}\left(\varphi_{k+1}-\varphi _{k}\right) -\frac{1}{2}\sin \left( \varphi _{k+1}-\varphi_{k}\right)$$Dies ist die exakte Formel - die uns leider nichts nützt. Wir wollen aber den Limes für $n\to\infty$ betrachten, und dafür reicht es, nur die Dreiecksfläche $A_D$ zu betrachten, da $A_S$ selbst im Verhältnis zu $A_D$ gegen null geht, was ich nachfolgend zeige. Wir nennen den Differenzwinkel zwischen zwei Ecken:
$$\Delta \varphi_k=\varphi_{k+1}-\varphi_k$$Dann gilt
$$R_n=\frac{1}{2} \left( \sin(\varphi _{k}+\Delta  \varphi _{k})-\sin \varphi _{k}\right) \left( \cos \varphi_{k}-\cos(\varphi _{k}+\Delta  \varphi _{k})\right)+\frac{1}{2}\Delta  \varphi _{k}-\frac{1}{2}\sin \left(\Delta  \varphi _{k}\right)$$Verwendet man nun die Taylorreihen für Sinus und Kosinus, dann erhält man:
$$R_n\approx \frac12\sin\varphi_k\cos\varphi_k\cdot(\Delta \varphi_k)^2+\frac1{12}(\Delta \varphi_k)^3$$Das bedeutet, dass
$$A_D=\mathcal O\left((\Delta \varphi_k)^2\right)\qquad A_S=\mathcal O\left((\Delta \varphi_k)^3\right)$$Für den Grenzwert $n\to\infty$ können wir also setzen:
$$R_n\approx \frac12\sin\varphi_k\cos\varphi_k\cdot(\Delta \varphi_k)^2$$Das kann man übrigens auch geometrisch zeigen, wenn man im Detail oben noch einmal das Dreieck betrachtet und sich überlegt, dass es ein rechtwinkliges Dreieck ist mit der Hypotenuse $\varphi_{k+1}-\varphi_k$ und einem Kathetenwinkel $\varphi_k$. Daraus ergibt sich
$$\Delta \varphi_k=\sqrt{\frac{2R_n}{\sin\varphi_k\cos\varphi_k}}$$$$\Delta \varphi_k=2\sqrt{\frac{R_n}{\sin2\varphi_k}}$$$$\frac1{\Delta \varphi_k}=\frac12\sqrt{\frac{\sin2\varphi_k}{R_n}}$$ Es gilt nun
$$1=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1n\sum_{k=1}^n1\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1{\Delta \varphi_k}\Delta \varphi_k\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1n\sum_{k=1}^n\frac12\sqrt{\frac{\sin2\varphi_k}{R_n}}\Delta \varphi_k\right)$$$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{2n\sqrt{R_n}}\sum_{k=1}^n\sqrt{\sin2\varphi_k}\Delta \varphi_k\right)=1$$Für den Grenzwert $n\to\infty$ geht die Summe über in ein Integral:
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{2n\sqrt{R_n}}\intop_0^{\frac\pi2}\sqrt{\sin2\varphi}\;\mathrm d\varphi\right)=1$$Da das Integral unabhängig von $n$ ist, gilt:
$$\frac12\intop_0^{\frac\pi2}\sqrt{\sin2\varphi}\;\mathrm d\varphi\cdot\lim_{n\to\infty}\frac1{n\sqrt{R_n}}=1$$$$\lim_{n\to\infty}n\sqrt{R_n}=\frac12\intop_0^{\frac\pi2}\sqrt{\sin2\varphi}\;\mathrm d\varphi$$$$\lim_{n\to\infty}n^2R_n=\frac14\left(\intop_0^{\frac\pi2}\sqrt{\sin2\varphi}\;\mathrm d\varphi\right)^2$$Diese Gleichung hätte mir als Lösung ausgereicht, denn dieses Integral ist nicht elementar integrierbar. Man kann jedoch noch zeigen, dass
$$\lim_{n\to\infty}n^2R_n=\frac{\Gamma\left(\frac34\right)^4}{2\pi}=0\mathord,358885005523\dots$$Interessanterweise steigt die Folge $a_n=n^2R_n$ zunächst an bis $n=9$, um von dort an zu fallen:

Obige Werte wurden natürlich nur numerisch berechnet, da außer für $n=1$ die Gleichungen transzendent sind, weil man ja für die exakten Lösungen den Kreisbogen nicht vernachlässigen darf.

Ciao,

Thomas



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-12-01


Hallo Monty!

2020-11-24 19:31 - MontyPythagoras in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo Bernhard,
Es ist wie bei einer Stadt mit rechtwinkligem Straßennetz: ein diagonaler Weg von A nach B ist immer gleich lang, egal welchen Weg man einschlägt (vorausgesetzt natürlich, man schlägt zwischendurch nicht entgegengesetzte Richtungen ein).
Also ja, die Gesamtlänge de Stufen wird auf einen Viertelkreis bezogen 2 ergeben, denn ich bewege mich in den zwei zueinander orthogonalen Koordinatenrichtungen um eins nach links und um eins nach oben, wenn ich bei (1,0) beginne und bei (0,1) ende. Ich bin nicht sicher, ob man das dann als fraktal bezeichnen sollte.

Ciao,

Thomas
Ich überlege mir gerade, ob das überhaupt stimmt. Der Start- und Endpunkt liegt ja eben nicht auf (1,0) bzw (0,1), sondern etwas weiter innen im Kreis und verschiebt sich mit jedem Schritt ein kleines Stück weiter an ihn heran. Die Gesamtlänge müßte damit sogar noch weiter wachsen.
Interessant ist ja auch, daß die Berührungspunkte zum Kreis unendlich dicht beeinanderliegen, an einigen Stellen aber noch dichter (bei den 4 Diagonalen).

Viele Grüße, Bernhard


-----------------
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Hallo Bernhard,
die Länge der Treppe geht gegen 2 für n gegen unendlich, weil nur dann  Start- und Endpunkt sich den Punkten (1;0) und (0;1) beliebig dicht annähern. Für nichtunendliche n ist die Länge der Treppe kleiner als 2.

Ciao,

Thomas



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