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| Autor |
 Basis von Vektorräumen |
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LenaM
Junior 
Dabei seit: 15.11.2020
Mitteilungen: 12
 |  Themenstart: 2020-11-18
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Ich habe folgende Aufgabe bekommen:
Sei U = {(x1, x2, x3, x4, x5)\el\ \IR^5 | x1=3*x2 und x3=7*x4
1. Geben sie eine Basis von U an
2. Erweitern sie die Basis zu einer Basis von \IR^5
3. Bestimmen sie einen Untervektorraum W von \IR^5 mit \IR^5=U\oplus\ W
zu 1)
Ich glaube mich zu erinnern, dass für eine Basis gelten muss x1+x2+x3+x4+x5=0 ist das richtig?
Kann ich mir einfach für x2 und x4 was beliebiges aussuchen und das dann für x1 und x2 mit 3 bzw. 7 Multiplizieren und für x5 Suche ich mir dann etwas, sodass dann 0 rauskommt? Und müssen das dann Vektoren mit 5 Elementen sein (a;b;c;d;e)?
Zu 2)
ist das dann nicht eine Basis von \IR^5 ?
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-18
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Hallo LenaM,
du solltest dir zunächst einmal überlegen, welche Dimension der beschriebene Unterraum hat. Eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren, und ich setze hier einmal als bekannt voraus, dass deren Anzahl mit der Dimension des fraglichen Raums übereinstimmt (wenn die Dimension endlich ist zumindest).
Die Dimension dieses Unterraums ist kleiner als 5 und die Basisvektoren müssen die beiden Gleichungen erfüllen.
Findest du damit einen Anfang?
PS:
\quoteon(2020-11-18 16:38 - LenaM im Themenstart)
Ich glaube mich zu erinnern, dass für eine Basis gelten muss x1+x2+x3+x4+x5=0 ist das richtig?
\quoteoff
Das ist falsch. Schlage die Definition von "Lineare Unabhängigkeit" am besten nochmal nach.
Gruß, Diophant
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Profil
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3650
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-18
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Hallo
\quoteon(2020-11-18 16:38 - LenaM im Themenstart)
zu 1)
Ich glaube mich zu erinnern, dass für eine Basis gelten muss $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0$ ist das richtig?
\quoteoff
Nein.
\quoteon
Kann ich mir einfach für $x_2$ und $x_4$ was beliebiges aussuchen und das dann für $x_1$ und $x_3$ mit 3 bzw. 7 Multiplizieren
\quoteoff
Ja. Für $x_5$ darfst du dir auch etwas aussuchen, da die Summe ja nicht Null sein muss.
\quoteon
Zu 2)
ist das dann nicht eine Basis von \IR^5 ?
\quoteoff
Was meinst du jetzt? Guck doch nochmal den Begriff Basis nach. Ähnliche Fragen wurden auch schon im Forum behandelt.
\quoteoff
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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