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 Dreiecksberechnung 2 |
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2971
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 |  Themenstart: 2020-11-19
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Nach der Aufgabe von Werner eine Aufgabe von mir.
Von einem allgemeinen Dreideck ist bekannt, dass die Seitenlängen die aufeinanderfolgenden Glieder eiener arithmetischen Zahlfolge sind. Außerdem ist ein Winkel und die Fläche gegeben. Gesucht sind die Seitenlängen!
Gruß Caban
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-19
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Hallo Caban,
und danke für die Aufgabe!
kann es sein dass es nach ziemlich wuseligen Umformungen darauf hinausläuft, eine biquadratische Gleichung mit ausladenden Parametern für eine der Seitenlängen aufzustellen? Dann müsste ich nochmal genauer gucken, wo ich mich verrechnet habe...
Verwuselte Grüsse
Gerhard/Gonz
PS.: Fehler gefunden, die Formel für die Seiten ist jetzt doch recht "handlich", und man muß keine quadratische Gleichung lösen sondern nur eine Wurzel ziehen. Wo soll die Lösung denn hin? Hier im hide-Bereich posten?
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Caban
Senior
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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Hallo
Ja, im Hideberich passt es. Aber jenachdem, wo der Winkel liegt, muss man drei Fälle unterscheiden, in denen biquadratische Gleichungen auftreten, zumindest bei mir.
Gruß Caban
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gonz
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-19
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Stimmt, drei Fälle, ich habe erst einen zur Hand.
\hideon
\
Bezeichnet man die Seiten und Winkel auf die "übliche" Weise mit a,b,c und \alpha,\beta,\gamma. Ich habe den Fall betrachtet, in dem der Winkel \gamma gegeben ist (der der Seite c gegenüberliegt), und die Seiten eine arithmetische Folge bilden in der Reihenfolge a,b,c. Die gegebene Fläche sei A, und ich benutze noch die auf der Seite b senkrecht stehende Höhe h_b.
Es gilt dann zunächst, damit es sich um eine arithmetische Folge handelt:
b-a = c-b => c = 2b-a
Die Fläche ergibt sich zu
A = b*h_b/2
und ich kann die Höhe mittels des Sinus des gegebenen Winkels in dem rechtwinkligen Dreieck b, h_b, a bestimmen:
h_b/a = sin(\gamma)
Damit kann ich schon einmal h_b eliminieren und erhalte:
A = ab/2 sin(\gamma)
und damit die erste Gleichung zur Bestimmung von a und b:
(I): b = 2A/(a sin(\gamma))
So nun habe ich noch eine aus dem Winkel folgende Gleichung, ich habe den Cosinussatz verwendet:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(\gamma)
Einsetzen von c liefert mir die zweite Gleichung:
(2b-a)^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(\gamma)
Die sich noch etwas vereinfacht:
3b^2 - 4ab = - 2ab cos(\gamma)
und damit
(II): 3b = 2a (2-cos(\gamma))
Hier habe ich keine Biquadratische Gleichung, sondern es ein bisschen einfacher. Ich komme auf
a = sqrt(3A/(sin(\gamma}(2-cos(\gamma))
und damit wiederum im Gleichung I eingesetzt und ein wenig umgeformt
b = 2 sqrt(A(2-cos(\gamma))/(3 sin(\gamma))
\hideoff
Ich hoffe ich habe mich nicht irgendwo doch noch vertan, ein durchgerechnetes Beispiel ging jedenfalls auf.
Grüße
Gerhard/Gonz
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Caban
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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Hallo
Ich hatte zuvor für diesen Fall einen etwas zu komplizierten Weg gewählt, jetzt habe ich einen einfacheren Weg gefunden, der ähnlich zu deinem Weg ist.
Mit der Flächenformel und Kosinussatz erhalte ich
A=1/2*a*(a+x)*sin(\gamma)
cos(\gamma)=(a^2+(a+x)^2-(a+2*x)^2)/(2*a*(a+x))=
Durch Umformen erhält man:
cos(\gamma)=(a^2-2*a*x-3*x^2)/(2*a*(a+x))
Durch Polynomdivision erhält man
cos(\gamma)=1/2-3*x/(2*a)
x=2*a/3*(1/2-cos(\gamma))
Mit x lässt sich nun leicht a berechnen oder mit a das x.
Für x erhalte ich
x=sqrt(A/(3*sin(\gamma)*(2-cos(\gamma))))*(1-2*cos(\gamma))
a=sqrt(3*A/(sin(\gamma)*(2-cos(\gamma))))
Gruß Caban
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gonz
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-20
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Guten Morgen :)
Ich meine, dass es nur zwei Varianten gibt. Es geht um die Lage des Winkels zu der arithmetischen Folge. Diese kann aufsteigend wie absteigend sein (wir haben ja das "x" ggf. einfach vorzeichenbehaftet). Spiegelungen an der Winkelhalbierenden des betreffenden Winkels ändern nichts grundlegend.
Damit geht es nur um die Lage der Ecke, an der Anfang und Ende der arithmetischen Folge aufeinander treffen, und diese kann
a) die Ecke sein, in der der Winkel anliegt (das ist der noch zu untersuchende Fall), oder
b) eine der beiden anderen Ecke, wobei wir uns o.B.d.A. eine aussuchen können, die andere ergibt eben eine gespiegelte Lösung. Das ist der Fall, den wir schon betrachtet haben.
Grüße
Gerhard/Gonz
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Caban
Senior
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-20
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Hallo gonz, ja ich glaube, du hast recht.
cos(\alpha)=(a^2+(a+2*x)^2-(a+x)^2)/(2*a*(a+x))=(a*(a+2*x)+3*x^2)/(2*a(a+x))=(2*A/sin(\alpha)+3*x^2)/(4*A/sin(\alpha))
x wäre dann +-sqrt((4*A/tan(\alpha)-2*A/sin(\alpha))/3)
a^2+2*a*x-2*A/sin(\alpha)=0
a=-x+-sqrt(x^2+2*A/sin(\alpha)
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ebikerni
Aktiv
Dabei seit: 17.10.2020
Mitteilungen: 273
 | Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-29
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Hallo senior Ganz,
ich habe in Deinem Beitrag No.3 Forum:Geometrie + Dreieckberechnung 2
die Mitteilung erlesen, daß bei einer Berechnung der Dreiecksseiten
eine arithmetische Reihenfolge in a,b,c erfolgen soll. Darüber habe
ich noch nie in meinem Leben eine Mitteilung bekommen. Deine Entstehung
der Gleichungen und für mich die Anwendung für die Berechnungen der
Seiten a und b war eine interessante Aufgabe und habe deshalb für
Gamma = 30 ° und Dreiecksfläche A = 14 festgelegt.
Für a und b habe ich berechnet a = 8.6067261 und
b = 6.5065391
Die daraus berechn. 3.Seite ergab
c = 4.4063523 .
Die Differenz ergab a - b = 2.100187 und
Differenz ergab b - c = 2.100187
Die berechnete Dreiecksfläche aus
a , b u. Gamma 30° ergab A = 14.000000
Für mich ist Dein Beitrag eine sehr wertvolle Erkenntnis .
Sehr herzliche Grüße von ebikerni auch Senior
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