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  Ungleichung (arithm./geom. Mittel) Teil 2 |
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JamesNguyen
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Guten Abend,
Für n \el \IN ist die Aussage gegeben
(AMGM_n):
a_1,...,a_n seien beliebige positive reelle Zahlen
dann gilt
A_n:=(1/n)*sum(a_k,k=1,n)>=(produkt(a_k,k=1,n))^(1/n)=:G_n
und Gleichheit nur für a_1=... =a_n.
(a) (AMGM_1) und (AMGM_2) wurden gezeigt
(b) für n>=2 und reelle a_1,...,a_n, a_(n+1)>0
und (A^~):=(1/n)*(a_(n+1)+(n-1)A_(n+1)), (G^~):=(a_(n+1)*A_(n+1)^(n-1))^(1/n)
wurde gezeigt
(((A_n)A^~))^(1/2)<=(1/2)(A_n + A^~) und (G_n)(G^~) = (G_(n+1)^(n+1)*A_(n+1)^(n-1))^(1/n)
Frage:
(c) es soll nun (AMGN_n) für n>=3 gezeigt werden.
Hinweis:Führe eine Induktion und benutze (b)
Was sagt Ihnen die Induktionsannahme über A^~ und G^~
Meine bisherige klassische Induktion:
Zu zeigen: Seien a_1,...,a_n beliebige positive reele Zahlen, so gilt
für alle natürlichen Zahlen n \el \IN gilt die Aussage
(AMGM_n): A_n:=(1/n)*sum(a_k,k=1,n)>=(produkt(a_k,k=1,n))^(1/n)=:G_n.
und Gleichheit tritt nur für a_1 = ... = a_n ein.
Beweis per Induktion nach n:
- Induktionsanfang: Für n=1 wurde in (a) gezeigt A_1 >= G_1
bzw. <=> a_1 = a_1 also die Gleichheit miteingeschlossen, d.h. AMGM_1 ist wahr.
Induktionsannahme: Für ein n \el \IN gelte (AMGM_n), d.h. es gilt
A_n >= G_n oder (1/n)*sum(a_k,k=1,n)>=(produkt(a_k,k=1,n))^(1/n)
Induktionsschluss:
Wir wollen hier unter Verwendung der Induktionsannahme explizit
(1/(n+1))*sum(a_k,k=1,n+1)>=(produkt(a_k,k=1,n+1))^(1/(n+1))
zeigen.
(n -> n+1): Es gilt:
A_(n+1) = 1/(n+1)*sum(a_k,k=1,n+1)= (n/(n+1))*((1/n)*sum(a_k,k=1,n+1))
=(n/(n+1))*((1/n)*sum(a_k,k=1,n+1))
=(n/(n+1))*((1/n)*sum(a_k,k=1,n)+(1/n)*a_(n+1))
=(1/(n+1))*a_(n+1) + (n/(n+1))*(1/n)*sum(a_k,k=1,n) mit Induktionsannahme
>= (1/(n+1))*a_(n+1)+(n/(n+1))*produkt(a_k,k=1,n)^(1/n)
...wir wollen zu >= (produkt(a_k,k=1,n+1))^(1/(n+1))
= (produkt(a_k,k=1,n))^(1/(n+1))*(a_(n+1))^(1/(n+1))
= ((produkt(a_k,k=1,n))^(1/(n)))^(n/(n+1))*(a_(n+1))^(1/(n+1))
Vielen Dank,
James
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JamesNguyen
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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Ich seh auch noch nicht was das mit der (b) zu tun hat..
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JamesNguyen
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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Also gerade versuche ich
die Vorwärts und Rückwärts Induktion von Cauchy
nachzuvollziehen
also von
Induktionanfang (AMGM_2)
und dann
(AMGM_n) => (AMGM_2n)
und dann
(AMGM_n) => (AMGM_(n-1))
aber ich bin mir nicht sicher wo man A^~ und G^~ einbauen kann
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JamesNguyen
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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Also ich habe jetzt mal versucht
(A^~):=(1/n)*(a_(n+1)+(n-1)A_(n+1))
nachzuvollziehen
wenn wir einen Satz von n+1 Messwerten haben,
dann ist A_(n+1) der arithmetische Mittelwert.
also dasselbe wie wenn wir
n+1-mal denselben Messwert A_(n+1) messen würden und dann durch n+1 teilen.
dasselbe kommt auch raus wenn wir n-mal A_(n+1) messen und durch n teilen.
in A^~
tun wir so als hätten
wir n-mal A_(n+1) gemessen. Ziehen davon einmal A_(n+1) ab
sodass wir also n-1 mal den Messwert A_(n+1) summieren
dann addieren den letzten Messwert a_(n+1)
und haben also wieder n-Messwerte.
Teilen wir aber jetzt durch n haben wir nicht mehr das
Arithmetische Mittel unserer ursprünglichen n+1 Messwerte A_(n+1)
sondern mit a_(n+1) dem letzten Messwert (der auch kleiner oder größer als A_(n+1) sein kann)
haben wir sozusagen neu gewichtet...
und A^~ ist kleiner gleich oder größer als A_(n+1) in Abhängigkeit von a_(n+1)
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JamesNguyen
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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Die Gleichung
(((A_n)A^~))^(1/2)<=(1/2)(A_n + A^~)
ist also eig. wieder unsere Aussage
wir sagen wir haben aus einer Messung mit n Messwerten
unserer arithmetisches Mittel A_n gebildet
und betrachten dieses als einen Messwert
als zweiten Messwert nehmen wir A^~
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JamesNguyen
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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jetzt habe ich auch G^~
auf gleiche Weise nachvollzogen
tatsächlich ist
(G^~):=(a_(n+1)*A_(n+1)^(n-1))^(1/n)
äquivalent zu A^~
bloß dass das geometrische Mittel verwendet wird
also wie bei meinen vor-vorletzten Post wird hier gleich vorgegangen
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JamesNguyen
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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ohne groß darüber nachgedacht zuhaben
nehme ich an,
dass die Induktionsannahme
als das A_n >= G_n für ein n gilt
auch impliziert dass
A^~ >= G^~
aber ich denk noch darüber nach
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JamesNguyen
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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Ich weiß halt gerade nicht wie ich
im Induktionsschritt/-schluss
A^~ oder G^~
einbaue
wenn ich mit A_(n+1)
starte
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JamesNguyen
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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ich denke gerade über
A_(n+1) >= (1/2)(A_n + A^~)
nach und dann (b)
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JamesNguyen
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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tatsächlich ist also
A^~ genau A_(n+1) wenn a_(n+1) = A_(n+1)
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JamesNguyen
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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A_(n+1) >= (1/2)(A_n + A^~)
ist glaube ich nicht wirklich bekannt,
selbst wenn wir a_(n+1) = A_(n+1)
und damit
A_(n+1) >= (1/2)(A_n + A_(n+1))
wüssten wir nichts über A_n
wir wissen nicht
ob das Arithmetische Mittel
von A_n kleiner oder größer A_(n+1) ist
da a_(n+1) erstmal ein beliebiger Messwert ist.
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JamesNguyen
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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ok mann kann natürlich wie ich es gerade versuche
probieren
A_(n+1) >= (1/2)(A_n + A^~)
schriftlich zu zeigen
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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ok ich hab tatsächlich was raus ich hack dass mal gerade hier rein..
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JamesNguyen
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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(A^~):=(1/n)*(a_(n+1)+(n-1)A_(n+1))
also ist
A_(n+1) >= (1/2)*(A_n + A^~)
(1/(n+1))*sum(a_k,k=1,n+1) >= (1/2)*((1/n)*sum(a_k,k=1,n) + (1/n)*a_(n+1) + ((n-1)/(n*(n+1)))*sum(a_k,k=1,n+1))
<=>
(1/(n+1))*sum(a_k,k=1,n+1) >= (1/2)*((1/n)*sum(a_k,k=1,n+1) + ((n-1)/(n*(n+1)))*sum(a_k,k=1,n+1))
<=>
(1/(n+1))*sum(a_k,k=1,n+1) >= (1/2)*(sum(a_k,k=1,n+1)*((1/n)+((n-1)/(n*(n+1)))))
<=> kürzen der Summe (diese ist > 0)
(1/(n+1)) >= (1/2)*((n+1 + n-1)/(n(n+1)))
<=>
(1/(n+1)) >= (1/2)*((2n)/(n(n+1)))
<=>
(1/(n+1)) >= ((2n)/(2n(n+1)))
<=>
(1/(n+1)) >= (1/(n+1))
=>
(1/(n+1)) = (1/(n+1))
es gilt also
sogar
A_(n+1) = (1/2)*(A_n + A^~)
und wir können so in den Induktionsschritt starten
und dann mit
(((A_n)*A^~))^(1/2)<=(1/2)(A_n + A^~) weiter machen
Achtung A^~ ist erst ab n>=2 definiert
in (b)
also sollte der Induktionsanfang bei 2 liegen (haben wir in (a) gezeigt)
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JamesNguyen
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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als nächstes interessiert uns tatsächlich
ob
A^~ >= G^~
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JamesNguyen
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-20
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Ich habe nochmal einen neuen Thread aufgemacht
und bisherige Ergebnisse kompakt dargestellt
und auch die Induktion weitergeführt
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=250510&start=0&lps=1823185#v1823185
Vielen Dank!
James
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JamesNguyen
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-20
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In der Rechnung
A_(n+1) = (1/2)*(A_n + A^~)
wurde ein kleiner Fehler korrigiert
das Ergebnis bleibt aber.
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| JamesNguyen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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