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  Ungl. (arithm./geom. Mittel) Teil 3 kompakt! |
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JamesNguyen
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Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
 |  Themenstart: 2020-11-20
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Hallo Leute,
erstmal Entschuldigung für die Unübersichtlichkeit aus dem Teil 2 Thread
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=250503&start=0&lps=1823171#v1823171
Ich lege deshalb hier nochmal die wichtigsten Dinge zum Problem dar
und meinen bisherigen Lösungsansatz
dabei brauche ich eig. nur in einem Punkt noch Hilfe.
Für alle natürlichen Zahlen n \el \IN ist die Aussage
( AMGM_n) : Sind a_1, ..., a_n beliebige positive reelle Zahlen, dann gilt
A_n := (1/n) * sum(a_k,k=1,n) >= (produkt(a_k,k=1,n))^(1/n) =: G_n
und Gleichheit tritt nur für a_1 = ... = a_n ein.
in (a) haben wir gezeigt, dass ( AMGM_n ) für n = 1 und n = 2 gezeigt.
zu (b) für n >= 2 und reellen Zahlen a_1, ..., a_n, a_(n+1) > 0
sei
A^~ := (1/n) * (a_(n+1) + (n-1) * A_(n+1)) und
G^~ := (a_(n+1) * (A_(n+1))^(n-1))^(1/n)
wir haben gezeigt
(A_n * A^~)^(1/2) <= (1/2) * (A_n + A^~) und
G_n * G^~ = ((G_(n+1))^(n+1) * (A_(n+1))^(n-1))^(1/n)
(c) Beweisen Sie ( AMGM_n ) für n >= 3
Hinweis: Führe eine Induktion und benutze (b). Was sagt die Induktionsannahme über A^~ und G^~
Induktion:
Induktionsanfang: Mit (a) verankern wir bei n = 2, d.h. ( AMGM_2 ) gilt.
Induktionsannahme: wir kommen darauf zurück...
Induktionsschluss: (n -> n+1). Es gilt:
A_(n+1) = (1/2) * (A_n + A^~)
// dies habe ich schriftlich nach gerechnet
// mit (b) gilt dann
(1/2) * (A_n + A^~) >= (A_n * A^~)^(1/2)
// jetzt die Frage ist die klassische Induktionsannahme "für ein n \el \IN mit n >= 2 gilt die Aussage AMGM_n, d.h. A_n >= G_n oder
(1/n) * sum(a_k,k=1,n) >= (produkt(a_k,k=1,n))^(1/n)
und Gleichheit tritt nur für a_1 = ... = a_n ein"
eine Sinnvolle, bzw. in Bezug auf den Hinweis in (c) kann man daraus
A^~ >= G^~ folgern? Wenn ja wie geht das?
// Mit der Annahme A^~ >= G^~ also implizit auch der Induktionsannahme machen wir weiter
(A_n * A^~)^(1/2) >= (G_n * G^~)^(1/2)
// sehn wir uns die 1. Zeile unseres Induktionsschlusses an, so liegt es nahe das gilt
(G_n * G^~)^(1/2) = G_(n+1)
// das habe ich aber noch nicht nachgerechnet
also gilt
A_(n+1) >= G_(n+1)
// weitere Frage, wie kann ich jetzt noch folgern, dass
Gleichheit nur für a_1 = ... = a_n = a_(n+1) eintritt?
(mit den abkürzenden Symbolen sind die Glieder a ja nicht mehr explizit sichtbar..)
Anm.: Wir sehen die äquivalente Struktur der Objekte A und G folgendermaßen (arithm. <-> geom. Mittel)
Wird am Objekt A summiert
so entspricht das bei G einer Multiplikation
Wird am Objekt A geteilt,
so entspricht das bei G einem Wurzelziehen
Man mache sich damit nochmal die äquivalente Struktur von
A^~ := (1/n) * (a_(n+1) + (n-1) * A_(n+1)) und
G^~ := (a_(n+1) * (A_(n+1))^(n-1))^(1/n)
oder von
A_(n+1) = (1/2) * (A_n + A^~)
(G_n * G^~)^(1/2) = G_(n+1)
klar.
Ich hoffe, dass sich heute jemand meldet und mir helfen kann.
Ich geh jetz an der Matratze horchen. Ciao!
und vielen Dank,
James Nguyen
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JamesNguyen
Aktiv 
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-20
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Also ich glaube ich habs
Wir nehmen die Induktionsannahme:
es gelte für ein beliebiges aber festes n \el \IN
A_n >= G_n
(plus die Gleichheit, aber über die muss ich noch nachdenken)
, dass bedeutet aber in Worten, wenn wir eine Liste von
n beliebigen positiven Werten haben,
dann ist das arithmetische Mittel über die Werte in der Liste
- summiere die n Werte und teile durch deren Anzahl n
größer gleich das geometrische Mittel über die Werte
- multipliziere die n Werte und nehme die n-te Wurzel
So betrachten wir nun
A^~ := (1/n) * (a_(n+1) + (n-1) * A_(n+1))
G^~ := (a_(n+1) * (A_(n+1))^(n-1))^(1/n)
was wird da gemacht:
Wir wissen, dass A_(n+1) auch nur irgendeine positive Zahl ist
Unsere Liste besteht nun aus (n-1)-mal dem Wert A_(n+1)
und unser n-tes Element ist a_(n+1)
Wir haben also wieder eine Liste mit n positiven Werten
A^~ und G^~ bilden dann über diese Werte einfach wieder
das arithm. bzw. geom. Mittel
bei einer Liste aus n positiven Werten können wir dann
wegen der Induktionsannahme
A^~ >= G^~ annehmen
und Gleichheit wenn alle n Werte der Liste übereinstimmen.
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| JamesNguyen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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