| Autor |
  Eine Abschätzung auf dem Weg zum Cauchykriterium |
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robytoby61
Aktiv 
Dabei seit: 14.05.2020
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Hallo Zusammen, ich habe folgende Problemstellung:
  
Gegeben ist die Folge a_(n+1)=(2+a_n)/(1+a_n) mit a_1= 1 und n \el\ \IN mit n>= 1 Weiter hab ich eine Teilaufgabe vorher gezeigt das gilt: 1<= a_n <= 2 \forall\ n \el\ \IN und das die Folge wohldefiniert ist. Nun soll gezeigt werden: für m,n \el\ \IN mit m,n>2 gilt die Abschätzung: abs(a_n-a_m) <= 1/4*abs(a_(n-1)-a_(m-1)
Ich habe die Definition jeweils für a_n und a_m eingesetzt und durch Zusammenfassen auf einen grünen Zweig zu kommen. Das führte leider zu nichts und ich hab mich etwas verrannt. Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen.
Liebe Grüße Tobi
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Nuramon
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-23
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Hallo,
versuche den Mittelwertsatz anzuwenden.
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robytoby61
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
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Hallo Nuramon, meinst du den Mittelwertsatz der Differentialrechnung? Den darf ich noch nicht anwenden
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Nuramon
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-23
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Ja, den meinte ich.
Wenn du ihn nicht verwenden darfst, dann musst du halt von Hand nachrechnen, was aber auch nicht weiter schwierig ist. Zeige mal deine Rechnung.
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Phi1
Senior 
Dabei seit: 10.12.2005
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Herkunft: Wien
 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-23
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Hi!
Betrachte die Differenz $a_{n+1}-a_{m+1}=\dots$ mit $n\ge m$. Dann einfach Zähler und Nenner ausrechnen und für den Nenner beachten, dass du $a_n\ge 1$ schon gezeigt hast und überlegen wie man $a_n*a_m$ abschätzt.
MfG
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Die Zahl, des Geistes höchste Kraft.
[Aischylos]
Zehn mal zehn ist hundert;
Folgen unabsehbar.
[Thornton Wilder]
Die Maplehilfe ist dein Freund! :)
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robytoby61
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
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Okay ja ich habe also die Definition von a_n jeweils eingesetzt :
abs(a_n-a_m)= abs((2+ a_(n-1))/(1+a_(n-1)) - (2+a_(m-1))/(1+a_(m-1) = abs(((2+a_(n-1))*(1+a_(m-1))-(2+a_(m-1))*(1+a_(n-1)))/((1+a_(n-1))*(1+a_(m-1)))= abs((a_(m-1)-a_(n-1))/(1+a_(m-1)+a_(n-1)+a_(n-1)a_(m-1) hier kam ich zuerst nicht weiter. Jetzt gerade hatte ich aber folgende Idee. Das alles ist < abs((a_(m-1)-a_(n-1))/ (a_(n-1) a_(m-1))) mit obiger Ungleichung gilt dann <= 1/4 abs(a_(m-1)-a_(n-1)) oder? dann kann ich doch eigentlich im Betrag tauschen und es steht da 1/4 abs(a_(n-1)-a_(m-1))
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
Edit: Nachdem ich das getippt hab, hab ich deine Nachricht gelesen, das ist doch eigentlich das oder? LG Tobi
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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Die Umformungen sind richtig, deine letzte Abschätzung aber nicht:
Es gilt nur $|\frac 1{a_{n-1}a_{m-1}}| \leq 1$ nicht $\leq \frac 14$.
Mit einer ähnlichen Abschätzung ein paar Zeilen vorher klappt es aber.\(\endgroup\)
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robytoby61
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
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Entschuldige aber ich sehe es nicht an welcher Stelle ich das 1/4 noch reinbekommen könnte.
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Nuramon
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Mitteilungen: 2504
| Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Also am Ende deiner Gleichungskette passt der Zähler ja schon. Daher musst du wohl den Nenner abschätzen. Insgesamt soll eine obere Schranke herauskommen, also brauchst du eine untere Schranke für den Nenner. Dazu musst du nur ein paar mal $a_i\geq 1$ anwenden.\(\endgroup\)
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robytoby61
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
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Nuramon
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Mitteilungen: 2504
| Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
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\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
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\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Ist richtig. Übrigens wird die Rechnung etwas handlicher, wenn du $a_n = 1+\frac 1{1+a_{n-1}}$ benutzt. Das Ausmultiplizieren des Nenners ist auch nicht notwendig.\(\endgroup\)
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robytoby61
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
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Okay Dankeschön. Schönen Abend noch 😃
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Themenstart: 2020-11-23