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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Beweis Polynom für Ableitung einer exp-Funktion
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Universität/Hochschule J Beweis Polynom für Ableitung einer exp-Funktion
Spedex
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Herkunft: f(x=0)=1/x
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Nachdem ich mir das ungefähr zwölf mal durchgelesen habe, hatte ich zumindest den Eindruck, die Aufgabenstellung einigermaßen verstanden zu haben.
Ich habe dann einfach mal die ersten Ableitungen hingeschrieben, um zu schauen, was denn für \(p_n\left(\frac{1}{x}\right)\) jeweils rauskommen muss, abhängig von der aktuellen Ableitung (also vom aktuellen \(n\)).
Da bin ich dann auf folgendes gekommen:

Nur wie war ich nicht wirklich in der Lage, eine allgemeine Gleichung für \(p_n\left(x\right)\) zu finden, sodass ich dann einfach nur eine gewisses \(n\) einsetze, und die richtige Ableitung erhalte. Außerdem weiß ich nicht genau, was mit \(p_n\left(\frac{1}{x}\right)\) gemeint ist. Wenn \(p_n\left(x\right)=2\) ist dann \(p_n\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}\)?

Und erst dann kommt ja (die Annahme und) der Schritt, was normalerweise das Schlimmste ist. Das kann ja was werden...

Könnt ihr mir hierbei weiterhelfen?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24


Hallo,


Außerdem weiß ich nicht genau, was mit $p_n(\frac1x)$ gemeint ist. Wenn $p_n(x)=2$ ist dann $p_n(\frac1x)=\frac12$?

Wenn $p_n(x)=2$, dann ist $p_n(\frac1x)=2$. :)

Denn in dem Fall ist $p_n$ ja Konstant 2.

Diese f(x)-Schreibweise sagt ja folgendes.
Wir haben eine Funktion in Abhängigkeit von $x$ und nun setze für Funktion ein, was auch immer im Argument (das in den Klammern...) steht.

Das ist nichts neues. Ist etwa $f(x)=x^2$, dann ist $f(2)=2^2$, oder $f(\frac12)=\left(\frac12\right)^2$, oder eben auch $f(\frac1x)=\left(\frac1x\right)^2$.


Für die Induktion musst du dieses Polynom nicht explizit angeben.
Im Induktionsanfang bestimmst du über das Bilden der Ableitung den Vorfaktor.
Diesen kannst du nun als Polynom ausdrücken, der mit dem Koeffizienten übereinstimmt, wenn du in dieses Polynom 1/x (wie gefordert) einsetzt.

Im Induktionsschritt spielt es keine wirkliche Rolle wie dieses Polynom aussieht. Nach Induktionsannahme wissen wir, dass es eins gibt. Wenn du dann den Induktionsschritt ganz normal durchführst, wirst du vermutlich merken, worauf es hinausläuft.

Vermutlich ist es aber möglich, dass du diese Polynome explizit angeben kannst. Das macht es aber natürlich umständlicher.

Für $n=0$ wäre $p_0(x)=1$ nicht $0$. Sonst wäre das Produkt ja ebenfalls Null.




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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-24

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Hallo Spedex,

$p_n(\frac{1}{x})$ heißt einfach nur, dass du $\frac{1}{x}$ in $p_n$ einsetzt. Wenn $p_n(x)=a_kx^k+\dots a_1x+a_0$ ist, dann ist $p_n(\frac{1}{x})=a_k(\frac{1}{x})^k+\dots+a_1\frac{1}{x}+a_0$. Falls $p_n(x)=2$ ist, ist dann auch $p_n(\frac{1}{x})=2$.

Zu deinem Vorgehen: du sollst gar keine Formel für $p_n$ angeben, sondern einfach nur zeigen, dass es Polynome $p_n$ gibt, mit denen sich die Ableitungen in gegebener Weise ausdrücken lassen. Der Induktionsanfang ist nicht kompliziert: Die $0$-te Ableitung ist $f^{(0)}(x)=f(x)=\e^{-\frac{1}{x^2}}=1\e^{-\frac{1}{x^2}}$. Es ist also $p_0=1$.
Dann der Induktionsschritt: Falls $f^{(n)}(x)=p_n(\frac{1}{x})\e^{-\frac{1}{x^2}}$ mit einem Polynom $p_n$, dann ist $f^{(n+1)}(x)$ einfach die Ableitung von $p_n(\frac{1}{x})\e^{-\frac{1}{x^2}}$. Diese kannst du mit der Ketten- und Produktregel berechnen. Wenn du verwendest, dass die Ableitung eines Polynoms selbst wieder ein Polynom ist, dann brauchst du dafür auch gar nicht wissen, wie $p_n$ explizit aussieht.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Spedex
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Herkunft: f(x=0)=1/x
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, vielen Dank für eure Antworten.

Also, den Induktionsschritt habe ich jetzt wie folgt formuliert:
\[f^{(n+1)}\left(x\right)=p_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)*e^{-\frac{1}{x^2}}\] Und dann habe ich halt folgendes gesagt:

Ich hab da jetzt Zeilenzahlen eingefügt, fürs besser Zitieren, kommt zwar nicht an LaTeX ran, aber immerhin etwas.

Irgendwie muss ich ja jetzt von Zeile 4 auf Zeile 5 kommen, nicht?
Aber wie, weiß ich nicht.

Ich vermute ich muss jetzt zeigen, dass
\[p_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)=\left(p_n\left(\frac{1}{x}\right)\right)'+p_n\left(\frac{1}{x}\right)*\frac{-2}{x^3}\]
Könnt ihr mir hier weiterhelfen?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

ich weiß nicht, ob man das noch zeigen muss, denn es ist eigentlich trivial.

Wenn \(p_n\left(\frac{1}{x}\right)\) ein Polynom in \(\left(\frac{1}{x}\right)\) ist,

- was ist dann die Ableitung davon?
- was ist ein solches Polynom multipliziert mit einem Term der Form \(\frac{a}{x^k}\) (mit \(k\in\IN\)))
- was ist die Summe zweier solcher Polynome wiederum?

Deine Rechnung ist richtig, allerdings etwas lang geraten. Wenn man direkt nach der Anwendung der Produktregel die Exponentialfunktion ausklammert, dann ist es ein Zwei- bis Dreizeiler. 🙂


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25

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Es ist $\left(p_n(\frac{1}{x})\right)'=-\frac{1}{x^2}p_n'(\frac{1}{x})$. Dabei ist $p_n'$ ebenfalls ein Polynom. Da $-\frac{1}{x^2}$ ein Polynom in $\frac{1}{x}$ ist (indem man $\frac{1}{x}$ in das Polynom $-x^2$ einsetzt), ist auch $-\frac{1}{x^2}p_n'(\frac{1}{x})$ ein Polynom in $\frac{1}{x}$. Genauso ist auch $p_n(\frac{1}{x})\frac{-2}{x^3}$ ein Polynom in $\frac{1}{x}$. Die Summe beider Terme ist es dann ebenfalls.

(Polynom in <irgendwas> heißt ein Polynom, in das man <irgendwas> eingesetzt hat.)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Kann ich die Kettenregel auch bei Funktionen anwenden, in der Form \(\left(f(x)\right)'=x'*f'(x)\)? Das wusste ich gar nicht, haben wir aber hier gemacht, nicht?

Den Rest habe ich verstanden. Sämtliche entstehende Terme sind selbst auch wieder Polynome, welche addiert wiederum ein Polynom sind.

LG
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

deswegen ist es ja eine Regel: weil sie allgemeingültig ist. Also ist bspw. generell

\[\left(f\left(\frac{1}{x^n}\right)\right)'=-\frac{n}{x^{n+1}}\cdot f'\left(\frac{1}{x^n}\right)\]
Daher ergibt ein Polynom in \(\frac{1}{x}\) abgeleitet wieder ein solches Polynom.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Aber sei beispielweise \(p(x)=3x^2\), dann ist \(p\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x^2}\).
Die Ableitung davon müsste doch einfach die Ableitung von \(\frac{3}{x^2}\) sein, nicht? Das wäre ja einfach die Ableitung der "Zuordnungsvorschrift", also das was rechts steht.
Wenn ich das mit der Kettenregel ableite, kommt man ja auf \(\left(p\left(\frac{1}{x}\right)\right)'=\frac{-1}{x^2}*\left(\frac{3}{x^2}\right)'\), also mehr als nur die einfach Ableitung oben.

Was verstehe ich hier falsch?

LG
Spedex
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

wenn du das so anschaust, dann ist deine innere Funktion gegeben durch

\[v(x)=\frac{1}{x}\]
Die äußere Funktion ist aber nun

\[u(v)=3v^2\]
Die Ableitungen sind: \(\frac{\on{d}}{\on{dx}}\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}\) sowie \(\frac{\on{d}}{\on{dv}}3v^2=6v\)

Einsetzen bzw. Anwenden der Kettenregel ergibt:

\[f'(x)=\left(u(v)\right)'=v'(x)\cdot u'(v)=-\frac{1}{x^2}\cdot\frac{6}{x}=\frac{-6}{x^3}\]
Also das gleiche, als wenn man per Potenzregel abgeleitet hätte.


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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Spedex
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Ah, sehr gut.

Vielen Dank für die Hilfe, von euch allen!

Liebe Grüße
Spedex



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