|
Autor |
Linearisierung von Bewegungs-DGL |
|
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |
 
Hallo, Ich habe bei meinem System folgende Bewegungs-DGL aufgestellt: I: (m_1+m_2+m_3)*y^**+c*y^*+k*y+(m_1+m_3)*l_1*(\phi^*^2*cos(\phi)+\phi^** *sin(\phi))-(m_1+m_2+m_3)*g=0 II: 1//3*l_1^2*(m_1+3*m_3)*\phi^**+c_\phi*\phi^*+k_\phi*\phi+l_1*sin(1//2*m_1+m_3)*(g+y^**)=0 Es handelt sich hierbei um ein Pendel(m_1+m_3) mit Drehfeder und Torsionsdämpfer, welches an einer vertikal geführten Masse m_2 angebracht ist. Die Masse m_2 ist oben an einem Feder-Dämpfer System. Reibung wird vernachlässigt. Meine Frage nun: Wie linerarisiere ich die DGL Nr. I? Mein bisheriger Ansatz war: für \phi<<1 gilt: sin(\phi)~\phi; cos(\phi)~1; Den Term \phi^*^2 *cos(\phi) würde ich auch also ~0 betrachten Ein Problem habe ich aber mit dem Ausdruck: \phi^** *sin(\phi) Partielle Ableitung um die Ruhelage und Taylor-Entwicklung hab ich nicht hinbekommen. Hoffe, es hat jemand eine Idee! Danke
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Spock
Senior  Dabei seit: 25.04.2002 Mitteilungen: 8142
Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25
|
Hallo Barni!
Das ist in Ordnung!
ABER wieso machst Du sowas:
???
 
Einfach sin\phi~=\phi cos\phi~=1 setzen, und alles andere, insbesondere die Zeitableitungen von \phi läßt Du unangetastet.
Ich kann nicht sagen, ob Deine beiden DGLs stimmen, dazu schreibst Du zu wenig, aber was ist y?
Merke Dir für die Zukunft: Immer zuerst den Aufgabentext vollständig und in Originalwortlaut hier aufschreiben, das erhöht ungemein die Chancen auf Antwort, :-)
Grüße
Juergen
|
Für Spock bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
|
 
Hallo Jürgen, Danke. Ja stimmt, das mit \phi^*^2 * cos(\phi) ~ 0 ist natürlich Blödsinn. Ich hab inzwischen ''meine linearisierte'' DGL aufgestellt: (m_1+m_2+m_3)*y^** + c*y^* + k*y+(m_1+m_3)*l_1*\phi^*-(m_1+m_2+m_3)*g=0 hab also für den Ausdruck: \phi^*^2 * cos(\phi) ~ \phi^* angenommen. Kann man das so machen? Mein Zugang wäre, dass es sich ja nur um kleine Oszillationen um die Ruhelage (\phi=0) handelt und das so ok ist...? Bezüglich deiner letzten Anmerkung: Sorry, ich wollte nicht die ganze Aufgabe dazugeben, um keinen unnötig langen Post zu generieren. Aber ist somit notiert für die Zukunft :) Hier das Beispiel:
- y ist die Bewegung in y-Richtung
- die DGL's sollten soweit korrekt sein (zumindest schaut die Simulation in Simulink plausibel aus)
beste Grüße,
Paul
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Spock
Senior  Dabei seit: 25.04.2002 Mitteilungen: 8142
Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25
|
Hallo Paul,
Die Linearisierung des DGL-Systems mittels der Annahme kleiner Auslenkungen ist in Ordnung. Das ist die übliche Vorgehensweise solange man sicherstellen kann, daß der Auslenkwinkel "klein" bleibt.
Grüße
Juergen
|
Für Spock bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |     Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
|
 
Jetzt hab ich aber das Problem mit der linearisierung von der DGL Nr. II: diese lautet: II: 1//3*l_1^2*(m_1+3*m_3)*\phi^**+c_\phi*\phi^*+k_\phi*\phi+l_1*sin(\phi)*(1//2*m_1+m_3)*y^** + l_1*g*sin(\phi)*(1//2*m_1+m_3) wenn ich hier den Term: l_1*sin(\phi)*(1//2*m_1+m_3)*y^** linerarisieren will, so reduziert sich sin(\phi) auf \phi aber es bleibt trotzdem der nichtlineare Term l_1*(1//2*m_1+m_3)*\phi*y^** übrig. Gibt es da Ansätze, diesen Term noch weiter zu vereinfachen?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Spock
Senior  Dabei seit: 25.04.2002 Mitteilungen: 8142
Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
 |     Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-26
|
Hallo Paul,
"Linearisierung" von DGLs ist eine heikle Sache, da muß man sich genau überlegen, was man tut.
 
Du möchtest in Deinem Fall vermutlich um eine mögliche Ruhelage, kennzeichnen wir sie durch \phi_0 und y_0 , linearisieren. Dann kann man z.B. den Ansatz machen \lr(1)\phi(t)=\phi_0+\eps(t) \lr(2)y(t)= y_0+\eta(t) mit ''kleinen Abweichungen'' \eps(t) und \eta(t) von der Ruhelage. Von ref(1) und ref(2) bildet man dann noch die in dem DGL System auftauchenden Zeitableitungen, setzt ein, und wirft alles weg, was nicht linear in den Abweichungen ist.
Trotzdem bleibt Dein DGL-System immer noch gekoppelt.
2020-11-25 13:00 - Barni in Beitrag No. 2 schreibt:
...
- die DGL's sollten soweit korrekt sein (zumindest schaut die Simulation in Simulink plausibel aus)
...
Daß die "Simulation in Simulink plausibel aussieht", will nichts heißen, Software tut ja nur das (oder auch nicht), was man ihr vorgibt, :-)
Ich habe Dein DGL-System jetzt nicht überprüft, aber wenn Du das Ganze eh z.B. mit Simulink numerisch angehst, wozu die Linearisierung?
Grüße
Juergen
|
Für Spock bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |     Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
|
 
Hallo Jürgen, Ok, ich denke das habe ich soweit verstanden. Die Werte \epsilon(t) und \eta(t) kommen also dann in die Gleichungen dazu und werden eben von mir mit z.B.\epsilon<<1 definiert?! Liege ich da richtig? Werde es gleich mal ausprobieren. Vielen Dank Grüße Paul
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |     Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
|
PS: die Linearisierung ist leider ein Zusatzpunkt in der Angabe.
Es sollen dann beide Varianten (linear und nichtlinear) verglichen werden.
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |     Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
|
 
Hallo, Also ich hab jetzt mal versucht, meine beiden DGL's zu linearisieren. Aus DGL Nr. 1: m_ges*y^** +c*y^* + k*y+(m_1+m_3)*l_1*\phi^*^2 *cos(\phi)+(m_1+m_3)*l_1*\phi^** *sin(\phi) - (m_ges)*g=0 wurde: \Delta y^** *m_ges+c*\Delta y^* +k*\Delta y+2*l_1*(m_1+m_3)*\phi_0 *\Delta \phi^* +l_1*(m_1+m_3)*\phi_0*\Delta \phi^**^2 -m_ges*g=0 und aus Nr. 2: 1//3*l_1^2*(m_1+3m_3)*\phi^** +c_\phi*\phi^* + k_\phi*\phi+l_1*sin(\phi)*(1//2*m_1+m_3)*y^** +l_1*sin(\phi)*(1//2*m_1+m_3)*g = 0 wurde: \Delta \phi^** *1//3*l_1^2*(m_1+3m_3)*\Delta\phi^** +c_\phi*\Delta \phi^* +k_\phi*\Delta\phi +l_1*(1//2*m_1+m_3)*\phi_0*\Delta y^** +l_1*g*(1//2*m_1+m_3)*\phi_0 = 0 Kann das korrekt sein, oder habe ich deinen Ansatz falsch verstanden? Danke und LG Paul
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Spock
Senior  Dabei seit: 25.04.2002 Mitteilungen: 8142
Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
 |     Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-29
|
Hallo Paul,
 
wenn Du mal zu der Schreibweise in Beitrag No.5 zurückgehst, und dort annimmst, daß \phi_0=y_0=0 gilt, ist das linearisierte DGLS für kleine Auslenkungen \eps(t) und \eta(t) von der Form M \eta^**+c \eta^*+k \eta-Mg=0 A \eps^**+c_\phi \eps^*+B \eps=0 wobei ich die Konstanten M=m_1+m_2+m_3 A=1/3 \dsl_1^2 (m_1+3m_3) B=k_\phi+\dsl_1 (m_2/2+m_3)g eingeführt habe.
Aus dem hier
werde ich nicht so richtig schlau, wahrscheinlich hast Du Dich nur vertippst?
Ich habe den Term
 
\eps \eta^**
vernachlässigt, auch da muß man darüber nachdenken, ob das physikalisch sinnvoll ist. Andernfalls entkoppelt das System nicht, wird also nicht unbedingt so viel einfacher wie das Originalsystem.
Die Frage ist, was Du mit dem linearisierten System tun sollst. Analytisch lösen und mit der numerischen Lösung des ursprünglichen Systems vergleichen?
Grüße
Juergen
|
Für Spock bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |     Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |     Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
|
Ich werde deine Variante mal in Simulink mit den ursprünglichen DGL‘s vergleichen und berichte dann.
Grüße,
Paul
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |     Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
|
 
Hallo Jürgen, Um die Kopplung beizubehalten, bin ich nun auf folgende Gleichungen gekommen: M*\eta^**+c*\eta^*+k*\eta+D*\epsilon^**-M*g=0 A*\epsilon^**+c_\phi*\epsilon^*+k_\phi*\epsilon+B*g*\epsilon+B*\epsilon*\eta^**=0 A=1//3*l_1^2*(m_1+3m_3) B=l_1*(1//2*m_1+m_3) D=(m_1+m_3)*l_1 M=(m_1+m_2+m_3) Es ist jetzt nicht wirklich einfacher aber ich bin ehrlich gesagt etwas ratlos... wüsste nicht wie ich sonst einen sinnvollen Vergleich über das Systemverhalten mit dem nichtlinearen System zusammenbekomme?! Grüße Paul
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Spock
Senior  Dabei seit: 25.04.2002 Mitteilungen: 8142
Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
 |     Beitrag No.13, eingetragen 2020-12-01
|
Hallo Paul,
ich habe die Frage oben schon ein bis zweimal gestellt, was ist der Sinn der "Linearisierung"?
Ich hätte jetzt vermutet, daß Du zunächst mittels eines Software-Tools (Simulink) das exakte, gekoppelte DGL-System lösen magst.
Um die Lösung der Software zumindest für "kleine" Schwingungen und Auslenkungen zu überprüfen, willst Du die beiden exakten Gleichungen so (physikalisch sinnvoll) linearisieren, daß man sie geschlossen analytisch lösen kann? Dies ist mit dem genäherten, entkoppelten System in Beitrag No.9 möglich, jede der beiden DGLs ist analytisch lösbar, ohne die Hilfe einer Software.
 
Wenn Du den Term \eps \eta^** mitschleppst, ist das im strengen Sinne keine Linearisierung mehr, und die DGLs sind nach wie vor gekoppelt, eine analytische Lösung ist ungleich schwieriger.
Vielleicht sagst Du uns nochmal, was genau Deine Aufgabe ist, bzw. was Du tun magst.
Grüße
Juergen
|
Für Spock bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |     Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
|
Hallo Jürgen,
Ok, ich denke jetzt hab ich endgültig verstanden was du meinst.
Also zuerst mal zu meinen Überlegungen:
Ich habe das exakt gekoppelte DGL-System bereits in Simulink modelliert. Der nächste Schritt der Aufgabe ist eben die Linearisierung der Bewegungsgleichungen und eine Gegenüberstellung/ Plausibilitätsprpüfung von nichtlinearem und linearisiertem Modell. Irgendwie habe ich mich da darauf versteift, dass beim lin.System trotzdem noch eine Kopplung vorhanden sein muss, da man ansonsten die Effekte von Pendel auf Masse bzw. umgekehrt nicht feststellen kann. Aber eine (wie von dir erwähnte) sinnvolle und eben auch richtige Linearisierung geht wohl nur, wenn man die Terme weglässt und deinen Ansatz von Beitrag Nr.9 verwendet.
Jetzt wo ich nochmal (ausgeschlafen) darüber nachgedacht habe, bringt eine Kopplung mMn auch nicht wirklich viel, da das Lin.Modell nur bei ganz kleine Abweichungen übereinstimmt, wo eine Kopplung sowieso nicht ins Gewicht fällt (es wird also Pendel und Masse getrennt betrachtet).
Hoffe du bist da einer Meinung mit mir ;) und danke schon mal für deine Geduld...
Grüße,
Paul
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Spock
Senior  Dabei seit: 25.04.2002 Mitteilungen: 8142
Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
 |     Beitrag No.15, eingetragen 2020-12-01
|
Hallo Paul,
klar, ich bin Deiner Meinung, :-)
Und nur noch als Anmerkung: Es ist immer gut, wenn man für ein rein numerisch zu lösendes Problem eine irgendwie geartete analytische Lösung hat, und sei es nur eine Näherung. Wenn Du wüßtest, was bei kommerziellen Software Tools alles schief gehen kann, besser frag nicht, :-)
Grüße
Juergen
|
Für Spock bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
Barni
Junior  Dabei seit: 23.11.2020 Mitteilungen: 16
Herkunft: Wien, Österreich
 |     Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
|
Stimmt, das ist ein guter Punkt.
Und auch jetzt wenn es um die Parametrisierung des Systems geht, finde ich ist die einfachere analytische Lösung ganz gut zum Überprüfen.
Grüße,
Paul
|
Für Barni bei den Matheplanet-Awards stimmen
Notiz Profil
Quote
Link |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen. Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|