Hallo,
Ich habe bei meinem System folgende Bewegungs-DGL aufgestellt:

I:  (m_1+m_2+m_3)*y^**+c*y^*+k*y+(m_1+m_3)*l_1*(\phi^*^2*cos(\phi)+\phi^** *sin(\phi))-(m_1+m_2+m_3)*g=0

II:  1//3*l_1^2*(m_1+3*m_3)*\phi^**+c_\phi*\phi^*+k_\phi*\phi+l_1*sin(1//2*m_1+m_3)*(g+y^**)=0

Es handelt sich hierbei um ein Pendel(m_1+m_3) mit Drehfeder und Torsionsdämpfer, welches an einer vertikal geführten Masse m_2 angebracht ist. Die Masse m_2 ist oben an einem Feder-Dämpfer System. Reibung wird vernachlässigt.

Meine Frage nun:
Wie linerarisiere ich die DGL Nr. I?

Mein bisheriger Ansatz war:
für \phi<<1 gilt: sin(\phi)~\phi; cos(\phi)~1; 
Den Term \phi^*^2 *cos(\phi) würde ich auch also ~0 betrachten
Ein Problem habe ich aber mit dem Ausdruck: \phi^** *sin(\phi)

Partielle Ableitung um die Ruhelage und Taylor-Entwicklung hab ich nicht hinbekommen.

Hoffe, es hat jemand eine Idee!

Danke

Einfach

sin\phi~=\phi

cos\phi~=1

setzen, und alles andere, insbesondere die Zeitableitungen von \phi läßt Du unangetastet.

Hallo Jürgen,

Danke.
Ja stimmt, das mit \phi^*^2 * cos(\phi) ~ 0 ist natürlich Blödsinn. 

Ich hab inzwischen ''meine linearisierte'' DGL aufgestellt:

(m_1+m_2+m_3)*y^** + c*y^* + k*y+(m_1+m_3)*l_1*\phi^*-(m_1+m_2+m_3)*g=0

hab also für den Ausdruck: \phi^*^2 * cos(\phi) ~ \phi^* angenommen. Kann man das so machen? Mein Zugang wäre, dass es sich ja nur um kleine Oszillationen um die Ruhelage (\phi=0) handelt und das so ok ist...?

Bezüglich deiner letzten Anmerkung:
Sorry, ich wollte nicht die ganze Aufgabe dazugeben, um keinen unnötig langen Post zu generieren. Aber ist somit notiert für die Zukunft :)

Hier das Beispiel:

Jetzt hab ich aber das Problem mit der linearisierung von der DGL Nr. II:

diese lautet:

II: 1//3*l_1^2*(m_1+3*m_3)*\phi^**+c_\phi*\phi^*+k_\phi*\phi+l_1*sin(\phi)*(1//2*m_1+m_3)*y^** + l_1*g*sin(\phi)*(1//2*m_1+m_3)

wenn ich hier den Term: l_1*sin(\phi)*(1//2*m_1+m_3)*y^** linerarisieren will, so reduziert sich sin(\phi) auf \phi aber es bleibt trotzdem der nichtlineare Term l_1*(1//2*m_1+m_3)*\phi*y^** übrig.

Gibt es da Ansätze, diesen Term noch weiter zu vereinfachen?

Du möchtest in Deinem Fall vermutlich um eine mögliche Ruhelage, kennzeichnen wir sie durch \phi_0 und y_0 , linearisieren. Dann kann man z.B. den Ansatz machen

\lr(1)\phi(t)=\phi_0+\eps(t)

\lr(2)y(t)= y_0+\eta(t)

mit ''kleinen Abweichungen'' \eps(t) und \eta(t) von der Ruhelage.

Von ref(1) und ref(2) bildet man dann noch die in dem DGL System auftauchenden Zeitableitungen, setzt ein, und wirft alles weg, was nicht linear in den Abweichungen ist. 

Hallo Jürgen,

Ok, ich denke das habe ich soweit verstanden.
Die Werte \epsilon(t) und \eta(t) kommen also dann in die Gleichungen dazu und werden eben von mir mit z.B.\epsilon<<1 definiert?! Liege ich da richtig?
Werde es gleich mal ausprobieren.

Vielen Dank
Grüße
Paul

Hallo,

Also ich hab jetzt mal versucht, meine beiden DGL's zu linearisieren.
Aus DGL Nr. 1:
m_ges*y^** +c*y^* + k*y+(m_1+m_3)*l_1*\phi^*^2 *cos(\phi)+(m_1+m_3)*l_1*\phi^** *sin(\phi) - (m_ges)*g=0

wurde:

\Delta y^** *m_ges+c*\Delta y^* +k*\Delta y+2*l_1*(m_1+m_3)*\phi_0 *\Delta \phi^* +l_1*(m_1+m_3)*\phi_0*\Delta \phi^**^2 -m_ges*g=0

und aus Nr. 2:
1//3*l_1^2*(m_1+3m_3)*\phi^** +c_\phi*\phi^* + k_\phi*\phi+l_1*sin(\phi)*(1//2*m_1+m_3)*y^** +l_1*sin(\phi)*(1//2*m_1+m_3)*g = 0

wurde:

\Delta \phi^** *1//3*l_1^2*(m_1+3m_3)*\Delta\phi^** +c_\phi*\Delta \phi^* +k_\phi*\Delta\phi +l_1*(1//2*m_1+m_3)*\phi_0*\Delta y^** +l_1*g*(1//2*m_1+m_3)*\phi_0 = 0

Kann das korrekt sein, oder habe ich deinen Ansatz falsch verstanden?

Danke und LG
Paul

wenn Du mal zu der Schreibweise in Beitrag No.5 zurückgehst, und dort annimmst, daß

\phi_0=y_0=0

gilt, ist das linearisierte DGLS für kleine Auslenkungen \eps(t) und \eta(t) von der Form

M \eta^**+c \eta^*+k \eta-Mg=0

A \eps^**+c_\phi \eps^*+B \eps=0

wobei ich die Konstanten

M=m_1+m_2+m_3

A=1/3 \dsl_1^2 (m_1+3m_3)

B=k_\phi+\dsl_1 (m_2/2+m_3)g

eingeführt habe.

\eps \eta^**

\epsilon \eta^** 

Hallo Jürgen,

Um die Kopplung beizubehalten, bin ich nun auf folgende Gleichungen gekommen:

M*\eta^**+c*\eta^*+k*\eta+D*\epsilon^**-M*g=0

A*\epsilon^**+c_\phi*\epsilon^*+k_\phi*\epsilon+B*g*\epsilon+B*\epsilon*\eta^**=0

A=1//3*l_1^2*(m_1+3m_3)
B=l_1*(1//2*m_1+m_3)
D=(m_1+m_3)*l_1
M=(m_1+m_2+m_3)

Es ist jetzt nicht wirklich einfacher aber ich bin ehrlich gesagt etwas ratlos... wüsste nicht wie ich sonst einen sinnvollen Vergleich über das Systemverhalten mit dem nichtlinearen System zusammenbekomme?! 

Grüße
Paul

Wenn Du den Term \eps \eta^** mitschleppst, ist das im strengen Sinne keine Linearisierung mehr, und die DGLs sind nach wie vor gekoppelt, eine analytische Lösung ist ungleich schwieriger.