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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Beweisen, dass die rationalen Zahlen dicht in ℝ liegen
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Universität/Hochschule J Beweisen, dass die rationalen Zahlen dicht in ℝ liegen
Legas
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Hallo zusammen,

da ich recht neu in der Uni- Mathematik und daher noch nicht so recht weiß wie ich mit Beweisen umzugehen habe, habe ich eine Frage zu der folgenden Aufgabe
Zeigen Sie, dass für jede reelle Zahl ρ und jedes e > 0 eine rationale Zahl r mit ρ−e < r < ρ+e existiert.

Nun ist mir aufgefallen, dass das ja doch recht ähnlich zu den Folgerungen aus dem Archimedischen Axioms ist, also Zu jeder reellen Zahl x > 0 gibt es eine natürliche Zahl n mit n > x, also auch n ≤ x ≤ n+1

Ich stehe bei dem Punkt allerdings ein wenig auf dem Schlauch. Wie kann ich das Ganze jetzt auf meine Fragestellung anwenden? Mehr oder minder steht ja das gleiche da, jedoch kann ich doch wohl kaum so argumentieren. 🤔
Wie kann ich also an sowas herangehen?

Liebe Grüße





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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6104
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

eine rationale Zahl lässt sich als Bruch \(r=\frac{p}{q}\) darstellen. Es gilt also "nur" zu zeigen, dass es stets eine geeignete Wahl von \(p,q\in\IZ\) gibt, so dass die Zahl \(\frac{p}{q}\) in der \(\varepsilon\)-Umgebung von \(\rho\) liegt.

Die Frage wurde in diesem Forum übrigens schon unzählige Male gestellt, bemühe also auch einmal auch die hauseigene Suchfunktion.

Einen älteren Thread mit dieser Fragestellung habe ich dir schon einmal herausgesucht.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Rationale und reelle Zahlen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Legas
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Hallo,

vielen Dank für die Antwort! Da habe ich dann anscheinend etwas zu kompliziert gedacht.
Die Suchfunktion habe ich (das muss ich zu meiner Schande gestehen) noch nicht entdeckt gehabt, da hätte ich aber eigentlich drauf kommen müssen, dass es sowas gibt 😖

Liebe Grüße



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