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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Überabzählbare Mengen
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Universität/Hochschule J Überabzählbare Mengen
JamesNguyen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Hallo Leute,

I weiß nicht wie ich bei folgender Aufgabe beginnen soll

A ist eine Menge
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Gruß,
James



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

dazu nimmst du zunächst die Surjektivität der Abbildung \(f\) an und bringst diese Annahme vermittels des gegebenen Hinweises zum Widerspruch.

EDIT: sorry, hier hatte ich mich vertan. Das ist ja hier nur ein Teil des sonst üblichen Beweises, dass eine solche Abbildung nicht surjektiv und damit nicht bijektiv sein kann.

Für deine Frage musst du einfach die beiden Annahmen aus dem Hinweis jeweils zum Widerspruch führen. Siehe dazu auch den nächsten Beitrag.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Relationen und Abbildungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

dazu nimmst du zunächst die Surjektivität der Abbildung \(f\) an

Du meinst wahrscheinlich $f(a)=M$ solle man annehmen für ein $a$?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25


@Red_:
Ich hatte die Aufgabe nicht gründlich genug durchgelesen. Danke für den Hinweis, ich habe meine Antwort noch angepasst.


Gruß, Diophant



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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-25


Hallo zusammen,

darf ich hier nur mal kurz einhaken?: Ist M eigentlich die "Russel-Menge" -  also die Menge aller Menschen/Kreter, die sich nicht selbst rasieren?🤔

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.3 begonnen.]



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-11-25 16:22 - Red_ in Beitrag No. 2 schreibt:

dazu nimmst du zunächst die Surjektivität der Abbildung \(f\) an

Du meinst wahrscheinlich $f(a)=M$ solle man annehmen für ein $a$?
Ein Widerspruchsbeweis muss man gar nicht führen. Man kann mit der vorgeschlagenen Fallunterscheidung auch ganz direkt zeigen, dass für alle $a$ gilt: $f(a)\neq M$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-25


2020-11-25 16:48 - SabineMueller in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo zusammen,

darf ich hier nur mal kurz einhaken?: Ist M eigentlich die "Russel-Menge" -  also die Menge aller Menschen/Kreter, die sich nicht selbst rasieren?🤔

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.3 begonnen.]
Mit der entsprechenden Interpretation -- $f(x)$ ist die Menge an Personen, die $x$ rasiert -- ja.
Das Fazit ist dann: Es gibt niemanden, der genau die Personen rasiert, die in M liegen (also die, die sich nicht selbst rasieren).

Weitergedacht heißt das: Es gibt keine Bijektion zwischen $A$ und $2^A$.



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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-25


Hi Kitaktus,

noch eine andere Frage in diesem Zusammenhang: Ich habe mal gelernt, dass man immer, wenn man eine Menge definiert (z. B. in einem Beweis) klären muss, ob die definierte Menge nichtleer ist, d. h. dass es überhaupt Elemente gibt, die in der Menge liegen. Müsste man nicht eigentlich auch immer klären, ob man da die Russel-Menge (also eine Klasse) definiert hat?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-25


Das man immer klären müsste, ob eine Menge leer ist, ist vermutlich eine Fehlinterpretation einer anders gemeinten Aussage.
Die Menge meiner Kinder, die 2022 zur Welt kommen, ist sicher eine Menge. Ob sie leer ist oder nicht, vermag heute noch keiner zu sagen.

Da Du offenbar auf die Russellsche Antinomie anspielst. Hier muss man genauer unterscheiden. Die Menge der Personen, die sich nicht selbst rasieren _ist_ eine Menge. Da ist nichts widersprüchliches dran. Ein Paradox entsteht erst, wenn ich behaupte, es gäbe jemanden, der alle diese Personen und nur diese rasiert.

Auf Mengen übertragen, sähe das Paradox so aus:
Sei $A$ die Menge aller "Mengen vom Typ 1". Wir bilden nun eine Teilmenge $M$ von $A$, in die wir alle die Elemente von $A$ aufnehmen, die sich nicht selbst enthalten.
Die Annahme, dass $M$ eine "Menge vom Typ 1" ist, führt jetzt zum Widerspruch! $M$ ist also irgendetwas anderes. Vielleicht nennen wir $M$ auch "Menge", aber es ist jedenfalls keine Menge vom Typ 1.



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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-25


Alles klar. Danke für die Antwort.



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JamesNguyen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Vielen Dank für die Antworten

Also ich hab jetzt gesagt

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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-25


Hallo,

äquivalent sind die beiden Aussagen untereinander aber nicht (sonst bräuchte man sie ja nicht beide). Beides für sich genommen sind Äquivalenzen. Meintest du es so?

Nachtrag:
Hier liegt ein zweifacher Irrtum vor: die beiden Aussagen für sich sind so wie oben notiert falsch, denn das sind 'nur' Implikationen, keine Äquivalenzen. Und darum braucht man auch beide Fälle.

Jedenfalls hast du damit die Behauptung gezeigt. So war also der Hinweis gedacht.


Gruß, Diophant



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JamesNguyen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Ok danke

aber ist nicht


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und kann ich bereits aus jeder der beiden einzelnen Äquivalenzen von mir

M ungleich f(a) folgern? oder brauch ich beide

Aber ja eig steht da Fallunterscheidung

ok also wenn a in A

ist dann ist
a entweder in M oder nicht in M
also hat man alle Elemente a in A angeschaut wenn
man sich a in M und a nicht in M anschaut



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JamesNguyen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
JamesNguyen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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