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 Potenzmenge (kurz) |
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JamesNguyen
Aktiv 
Dabei seit: 08.11.2020
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5728
Herkunft: Rosenfeld, BW
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
kurze Antwort:
Ja.
Die Schreibweise der Potenzmenge als Zweierpotenz sieht man ja in letzter Zeit häufiger. Die korrekte Schreibweise muss meiner Kenntnis nach aber \(2^{|A|}\) lauten.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Mengenlehre' von Diophant]\(\endgroup\)
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3042
Herkunft: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-25
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Hi,
kurze Antwort: ja, richtig ist $A\in 2^A$ :)
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1122
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
(Allerdings gibt es natürlich Beispiele, wo $A \subseteq 2^A$ gilt.)
-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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Red_
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Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 838
Herkunft: Erde
 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-25
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2020-11-25 16:05 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
(Allerdings gibt es natürlich Beispiele, wo $A \subseteq 2^A$ gilt.)
Hey, ich glaube das gilt nur für $A=\emptyset$, wenn ich mich nicht irre?
Ja, das müsste stimmen, nutze das Fundierungsaxiom von ZF.
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Red_
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Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 838
Herkunft: Erde
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Die Schreibweise der Potenzmenge als Zweierpotenz sieht man ja in letzter Zeit häufiger. Die korrekte Schreibweise muss meiner Kenntnis nach aber \(2^{|A|}\) lauten.
Theoretisch sind beide Bezeichnungen nicht korrekt. Die Potenzmenge von $A$ ist $P(A)$. Die Menge $2^A$ ist per Definition die Menge aller Abbildungen von $A$ nach $\lbrace 0,1\rbrace$. Sind zwar bijektiv, aber es geht um die Bezeichnung der Elemente.\(\endgroup\)
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5728
Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-25
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@Red_:
Ok, danke für den Hinweis. Ich kannte halt bisher nur die Schreibweise per Mächtigkeit und habe mir über die Korrektheit nie wirklich Gedanken gemacht. Letztendlich ist eine Schreibweise ja eh Definitionssache.
Gruß, Diophant
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Red_
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Herkunft: Erde
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-25
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Ja, ich glaube Schreibweisen muss man lernen und mir wurde beigebracht $X^Y$ ist die Menge aller Abbildungen von $Y$ nach $X$ für zwei Mengen $X$ und $Y$.
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1122
| Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
2020-11-25 16:09 - Red_ in Beitrag No. 4 schreibt:
Hey, ich glaube das gilt nur für $A=\emptyset$, wenn ich mich nicht irre?
Hatte ich zunächst auch gedacht, aber betrachte z.B. $A = \{\emptyset \}$. Schau auch mal hier.
-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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Red_
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Herkunft: Erde
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-25
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Ahh stimmt, danke Kezer. Ich hatte einen Denkfehler beim hantieren von Mengen von Mengen...
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Triceratops
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Herkunft: Berlin
 |  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-25
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$A \subseteq P(A)$ gilt genau für transitive Mengen. Ordinalzahlen sind wichtige Beispiele von transitiven Mengen.
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StrgAltEntf
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Herkunft: Milchstraße
 | Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-11-25 16:02 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Schreibweise der Potenzmenge als Zweierpotenz sieht man ja in letzter Zeit häufiger. Die korrekte Schreibweise muss meiner Kenntnis nach aber \(2^{|A|}\) lauten.
Diese Notation ist meines Wissens völlig unüblich, denn mit |A| wird ja normalerweise die Mächtigkeit (Kardinalität) von A bezeichnet, und es gilt etwa \(|\IN|=|\IQ|\) aber \({\cal P}(\IN)\neq{\cal P}(\IQ)\).\(\endgroup\)
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@StrgAltEntf:
Du hast recht, da hat mir die Erinnerung einen Streich gespielt. \(2^{|A|}\) ist ja einfach nur die Mächtigkeit der Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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